Kettinglijn

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

Kettinglijnen

Vrij hangende halsketting

Een kettinglijn of catenoïde (Latijn: catena, 'ketting') is een wiskundige kromme in de vorm van een in de evenwicht hangende dunne, zware homogene draad (koord of ketting) die volkomen buigzaam en onuitrekbaar verondersteld wordt. In de statica der draden bewijst men dat de kettinglijn een vlakke kromme is en dat, indien men het xy-assenkruis goed kiest, deze voorgesteld kan worden door:

$y = a \cosh \frac{x}{a}$ ,

waarin de functie $cosh$ de cosinus hyperbolicus voorstelt en a een parameter is die de kromtestraal in het laagste punt voorstelt.

Voorbeelden van een kettinglijn zijn:

een lege waslijn die tussen twee punten opgehangen wordt.
een hoogspanningslijn tussen twee pylonen.
een ketting naar een anker van een schip in het water.

Inhoud

1 Afleiding
2 Geschiedenis van de kettinglijn
3 Eigenschappen van de kettinglijn
4 Toepassing van de kettinglijn in de architectuur

[bewerk] Afleiding

De potentiële energie van een stukje van de ketting is evenredig met de hoogte y en de lengte

$ds=\sqrt{1+y'^2}dx$

Integratie over de hele kettinglijn levert voor de totale potentiële energie:

$\mu\int y\sqrt{1+y'^2}dx$ ,

waarin μ de massa per lengte-eenheid is.

Voor de kettinglijn is deze energie minimaal. Volgens de variatierekening zijn de stationaire punten van de integraal gekenmerkt door:

$\frac{\partial h}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial h}{\partial y'}=0$ ,

waarin h de integrand is. Invullen levert:

$\sqrt{1+y'^2}-\frac{d}{dx}\frac{yy'}{\sqrt{1+y'^2}}=0$ .

wat na enig rechttoe rechtaan rekenwerk resulteert in de differentiaalvergelijking:

$1+y'^2-yy''=0\,$ .

Door invullen ziet men dat de genoemde vorm van de kettinglijn hiervan de oplossing is.

[bewerk] Geschiedenis van de kettinglijn

Galileo Galilei dacht dat de vorm die dergelijke draden aannamen in het zwaartekrachtveld, parabolen moesten zijn, maar Joachim Jungius (1587-1657) stelde in de in 1669 gepubliceerde heruitgave van zijn Geometrica empirica experimenteel vast dat dit niet juist was. Christiaan Huygens toonde in 1646 op grond van meetkundige overwegingen eveneens aan dat het geen parabolen konden zijn.

Vergelijking van parabool (blauw) met kettinglijn (rood)

Manuscript van Huygens

De afbeelding hiernaast laat het verschil zien tussen het verloop van de kettinglijn (rode kromme) met vergelijking $y = 2 \cosh \frac{x}{2}$ en het verloop van een benaderende parabool (blauwe kromme) met vergelijking $y = 2 + \frac{x^2}{2}$ . Men ziet dan dat de kettinglijn steiler verloopt dan de parabool, wat duidelijk merkbaar is bij grotere x-waarden (in dit geval bij waarden van x groter dan ± 5,96).

Huygens stelde zich het koord of de ketting voor als een serie gewichten aan een gewichtsloos koord (volgende afbeelding). Dat klopt natuurlijk niet; het is een benadering. Die benadering wordt beter naarmate er meer gewichten op kortere onderlinge afstand zijn. In de natuurkunde zegt men dan dat het koord een homogene massaverdeling heeft. In het limietgeval komt deze benadering overeen met de exacte oplossing. Dit soort limietproblemen wordt behandeld in de differentiaal- en integraalrekening. Deze theorie werd ontwikkeld door Newton (ca. 1667) en Leibniz (ca.1675). Huygens heeft deze nieuwe methoden op het eind van zijn leven leren kennen. Hij kon er nooit goed mee overweg, want hij had intussen eigen, meetkundige methoden ontwikkeld. Die waren ingewikkelder dan de nieuwe, maar dankzij zijn wiskundige virtuositeit kwam hij er bijna even ver mee als Leibniz en Newton.

In een brief aan Leibniz in november 1690 gebruikte Huygens de benaming "catenaria".

In 1691-1693, werd Huygens nogmaals geconfronteerd met de kettinglijn. Jakob Bernoulli had namelijk in de Acta Eruditorum aan de geleerde wereld de vraag voorgelegd, wat dan wél de vorm van een hangende ketting is als het, zoals Huygens had bewezen, geen parabool is. Leibniz en Jakob's broer Johann losten het probleem op met de nieuwe methoden; Huygens vond met zijn eigen meetkundige methoden een gelijkwaardige oplossing.

Hoewel de drie oplossingen verschillen van vorm, zijn ze alle equivalent met de kettinglijnformule $y = \frac{a}{2}(e^\frac{x}{a} + e^{-\frac{x}{a}})$ .

In 1697 publiceerde David Gregory, hoogleraar wiskunde in Oxford, een verhandeling over de eigenschappen van de kettinglijn, waarin hij ook aangaf dat de omgekeerde kettinglijn de beste figuur is voor de constructie van een ondersteunende boog of brug.

[bewerk] Eigenschappen van de kettinglijn

Booglengte en oppervlakte

Als een parabool zonder glijden langs een rechte lijn rolt, beschrijft zijn brandpunt een kettinglijn

De vergelijking voor de kettinglijn kan ook geschreven worden als: $\frac ya =\cosh \frac xa$ . Daaruit blijkt dat de parameter a een schaalparameter is en alle kettinglijnen dus gelijkvormig zijn.
Als gevolg van de homothetie zullen alle kettinglijnen van de schaar met vergelijking $y = a \cosh \frac{x}{a}$ twee dezelfde raaklijnen vertonen.
De lengte L van de boog AK tussen het laagste punt A en het punt K met abcis x₀ (zie afbeelding) is gelijk aan:

$L = \int_{0}^{x_0} \sqrt{1+y'^2}\ dx = a \sinh \frac{x_0}{a}$

De oppervlakte S van het gebied OAKx₀ (zie afbeelding), tussen de kettinglijn en de x-as, is gelijk aan:

$S = \int_{0}^{x_0} a \cosh \frac{x}{a}\ dx = a^2 \sinh \frac{x_0}{a} = a L$

De kromtestraal ρ in een punt van de kettinglijn wordt gegeven door:

$\rho =\left| \frac {(1+y'^2)^ \frac{3}{2}}{y''} \right| = a \cosh^2 \frac{x}{a} = \frac {y^2}{a}=a + \frac {L^2}{a}$

Parametervergelijking van de kettinglijn, met parameter t> 0:

$x = a\ \ln t$

$y = \frac{a}{2}(t + \frac{1}{t})$

Genererende kromme:

Als een parabool zonder glijden langs een rechte lijn rolt, beschrijft zijn brandpunt een kettinglijn. (zie hiernaast)

De omhullende van de normalen van een tractrix, ofwel de evolute van de tractrix, is een kettinglijn.
Euler bewees in 1744 dat de kettinglijn ook de kromme is die wanneer men ze rond de x-as roteert, een oppervlak beschrijft met minimale oppervlakte voor de gegeven beschrijvende cirkel.

[bewerk] Toepassing van de kettinglijn in de architectuur

Gateway Arch

Paleis in Ctesiphon.

De pilaren in de Sagrada Família volgen een kettinglijn

De kettinglijn heeft een bekende toepassing in de architectuur, waar men gebruikt maakt van de zogenaamde kettinglijntheorie. Deze stelt dat een boog het stevigst is, wanneer hij gebouwd wordt als een omgekeerde ‘hangende ketting’. Het idee hierachter is de volgende: in een hangend touwtje bestaan alleen trekkrachten, in de richting van het touw. Keert men die kromme om, dan zullen in de boog alleen drukkrachten bestaan. Bij bogen die niet de kettinglijn als vorm hebben, bestaan er naast die drukkrachten ook buitenwaarts gerichte krachten, die ervoor kunnen zorgen dat de boog naar buiten plooit en mettertijd scheurt. (Zie ook centrale kern en druklijn.)

Een van de oudste constructies waarin dit principe blijkbaar gebruikt werd, dateert uit de 3de eeuw: ten zuiden van het huidige Bagdad vind je restanten van wat ooit een indrukwekkend paleis was in de toenmalige stad Ctesiphon. Opvallend daarbij is de overdekte hal, die meer dan 25 meter breed is en ongeveer 50 meter lang. De vorm van de boog is een bijna perfecte kettinglijn, wat meteen een verklaring kan zijn voor het feit dat hij nog steeds overeind staat.

De Engelse Christopher Wren gebruikte ook de kettinglijntheorie bij de bouw van de koepel van St Pauls Cathedral (Londen, eind 17de eeuw). De tussenkoepel heeft de vorm van een kettinglijn en draagt de 850 ton zware ‘lantaarn’ bovenop de kathedraal.

Antoni Gaudí gebruikte de kettinglijn o.a. in zijn ontwerp van de Sagrada Familia in Barcelona.

Ook recentere bouwsels maken er gebruik van. De 192 m hoge Gateway Arch in St.Louis in de Verenigde Staten. Wanneer een assenstelsel wordt gedacht met oorsprong in de top van de boog en met de y-as naar beneden, dan is de vergelijking van de centrale lijn gegeven door:

$y= 38,92 \cdot (\cosh (0,02569 \cdot x) -1)$