Láncgörbe

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.

A kötél láncgörbe alakot vesz fel.

Különböző a paraméterhez tartozó láncgörbék.

A láncgörbe a két végénél fogva kifeszített lánc vagy kötél saját súlya alatt felvett alakja. A felfüggesztési pontok közelében a legmeredekebb a görbe, mert a legtöbb súly ezt a részt terheli, közép felé haladva a meredekség csökken, mivel egyre kevesebb terhelés esik rá.

[szerkesztés] Matematikai függvénye

A láncgörbe függvényét a koszinusz hiperbolikusz függvény írja le:

$y = a \cdot \cosh \left ({x \over a} \right ) = {a \over 2} \cdot \left (e^{x/a} + e^{-x/a} \right )$ ,

amely összefüggésben

$a =\left(\frac{T_o}{p}\right).$

ahol $T_o\,$ a láncot terhelő belső húzóerő vízszintes komponense, $p\,$ pedig az egységnyi hosszra eső súly. Az $a \,$ paraméter az $x = 0\,$ értékhez tartozó $y(0)\,$ abszcissza, ahogy az ábrán is látszik. A láncgörbe ívhossza a $(0,a) \,$ és egy tetszőleges pontja között:

$s = \sqrt{y^2-a^2}$ .

Egy tetszőleges $x \,$ értékhez tartozó pont görbületi sugara:

$\rho = a \cdot ch^2 \frac {x}{a}$

[szerkesztés] Egyéb tulajdonságai

Ha egy parabolát legördítünk egy egyenesen, fókuszpontja láncgörbét ír le. Euler 1744-ben bizoznyította, hogy a láncgörbe az a görbe, melyet hogy ha megforgatunk az x tengely körül az adott határoló körhöz tartozó minimálfelületet (a katenoidot) adja.

Szögletes kerekekkel felszerelt jármű teljesen zökkenőmentesen haladhat láncgörbék sorozatából álló pályán. A "kerekek" alakja tetszőleges szabályos sogszög lehet, azonban a pályát alkotó láncgörbék alakját és méreteit a keréknek megfelelően kell megválasztani.^[1].

Homogén elektrosztatikus mezőben egy töltéssel rendelkező részecske láncgörbe alakú pályát fut be. (Ez közelít a parabolához, ha a részecske sebessége sokkal kisebb a fénysebességnél.)

[szerkesztés] Függőhidak

Ponte Hercilio Luz, Florianópolis, Brazilia. A függőhidak alakja nem kötélgörbe, hanem parabola.

A szabadon függő láncok a fenti hiperbolikus függvény alakját veszik fel, de a függőhidak láncai vagy kábelei, melyek a híd szerkezethez vannak erősítve szabályos közökben, parabola alakot vesznek fel, ahogy azt Gallilei állította. (Levezetés).

[szerkesztés] Fordított láncgörbe alakú ívek

A láncgörbe ideális alak az olyan boltívek számára, melyek csak saját súlyukat hordják. Az ilyen boltívek keresztmetszetei csaknem kizárólag nyomásra vannak igénybevéve, hajlítást gyakorlatilag nem szenvednek. Ha az ilyen boltívet különálló elemekből építenek össze, az elemek között nem ébred érdemben nyírófeszültség sem. (Az egyes elemeken belül fellép nyíróerő a nyomás következtében, de nem a középvonalra merőleges síkokon.) A terhelés (beleértve a súlyt is) a láncgörbe érintője irányában hat.

Taq-i Kisra, Irán. A trónterem állapota 1824-ben.

Az ókorban a fordított láncgörbe alakú boltívet intuitíve találták fel, és úgy találták, hogy szilárd, stabil íveket lehet így építeni. A Taq-i Kisra az iráni Ctesiphonban látványos példaként maradt ránk. Az ókori görög és római építészetben a kevésbé hatékony körív alakú boltívek terjedtek el széles körben. Európában valószínűleg elfelejtették a láncgörbe alakú boltíveket a Római birodalom bukásával, a középkor és a reneszánsz alatt alig építettek ilyeneket, bár a csúcsíves bolthajtás a láncgörbe nem tudatos közelítése lehetett.

Gaudi láncgörbe alakú ívei a barcelonai Casa Milà padlásterében.

Antoni Gaudí katalán építész gyakran használta a láncgörbe alakot legtöbb munkájában. Az ívek és bordák legmegfelelőbb alakjának megtalálásához fonalakból és súlyokból összeállított modelleket használt. A súlyerők hatására a fonalak automatikusan olyan helyzetet vettek fel, hogy bennük csak húzó igénybevétel ébredjen. Gaudi gondolatmenete az volt, hogy ha megfordítja a modellt, és a huzalokat megfelelő rudakkal helyettesíti, akkor olyan szerkezetet kap, melyben csak rúdirányú nyomóerő ébred.

A Jefferson Nemeti Park kapu ívének Saint Louisban (Missouri) alakja szintén fordított láncgörbe. Fesztáva és magasága egyaránt 190 méter.

[szerkesztés] Referenciák

^ "Roulette: A Comfortable Ride on an n-gon Bicycle" by Borut Levart, The Wolfram Demonstrations Project, 2007.

[szerkesztés] Forrás

Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 1. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.
J. N. Bronstein - K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. ISBN: 963 1053091

[szerkesztés] Külső hivatkozások

[1] Simnyi Károly: Merj tudni!
Hanging With Galileo - A láncgörbe függvényének matematikai leveztése (angolul).
Catenary Demonstration Experiment - Jonathan Lansey egyszerű magyarázata a láncgörbe tulajdonságaihoz (angolul).
Catenary curve derived - A láncgörbe függvényének levezetése (angolul).

Kategóriák: Geometria | Függvények

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

Láncgörbe

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.

Tartalomjegyzék

[szerkesztés] Matematikai függvénye

[szerkesztés] Egyéb tulajdonságai

[szerkesztés] Függőhidak

[szerkesztés] Fordított láncgörbe alakú ívek

[szerkesztés] Referenciák

[szerkesztés] Forrás

[szerkesztés] Külső hivatkozások

Views

Navigáció

részvétel

Keresés

Más nyelveken