4つの4

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4つの4、フォーフォーズ(Four fours)、とは、4つの4と数学記号を使い、さまざまな数（普通は整数）を作ることを目指すパズル（数学パズル）である。

[編集] 使用可能な記号

日本の場合、一般的には以下の記号（演算）が使われているようである。

四則演算
小数点
冪乗
平方根
階乗
循環小数の循環節を表す点（ $.\dot4 = 0.\dot4=0.444 \cdots = \frac{4}{9}$ ）

以下の記号が用いられることもある。

二重階乗 !!（1または2からその数までの偶数のみまたは奇数のみの積）
ガウス記号（小数点以下の端数を切り捨てる）
ガンマ関数（xが整数ならばΓ(x)=(x-1)!）
パーセント（4% = 0.04）
Σ（その数までの和）

[編集] 例

[編集] 基本的な例

$44$	$= 44 + 4 - 4$	・・・数を並べて2桁以上の数にしてもよい
	$={{4 \times 4.4} \over .4}$	・・・整数部分が0の小数はその0を省略できる
	$=4!+4!- \sqrt{4} - \sqrt{4}$	・・・階乗、平方根を使用した例

[編集] 0から10までの例

0=44-44
1=44/44
2=4/4+4/4
3=(4+4+4)/4
4=4+(4-4)*4
5=(4*4+4)/4
6=4+(4+4)/4
7=44/4-4
8=4+4+4-4
9=4+4+4/4
10=(44-4)/4

[編集] 記号を多用した例

$149 = \sqrt{\sqrt{\sqrt{{(\sqrt{4}/.4)}^{4!}}}} + 4!$

[編集] その他

このパズルは1881年に科学雑誌「ノレッジ」に掲載されたものであり、20世紀初頭^[要出典]に1から1000まで（ただし、113、157、878、881、893、917、943、946、947を除く）の解答例が示された。解の示されていない113は、一般的に使われる記号（使用可能な記号の節の循環小数まで）では表すことができないといわれている。後半の記号を使った解としては、

$113$	$=\Gamma (\Gamma (4))-{4!+4 \over 4}$
	$=\left({4!+4 \over 4} \right) !!+4!!$
	$=\Sigma \Sigma 4 \times \sqrt{4} + \Sigma 4 - \Sigma \sqrt{4}$
	$=[(4!+4.4) \times 4]$