平方根

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平方根（へいほうこん、square root）とは、ある値が与えられた時、自乗してもとの値となるような新たな値のことをいう。幾何学的には、与えられた値を面積として持つ正方形を考えるとき、その一辺の長さは面積の平方根（の一つ）を与えるということで平方根のひとつの意味づけができる。二乗根（にじょうこん）、自乗根（じじょうこん）とも言う。

[編集] 定義

ある与えられた値 a に対して、a = b² となるような b を、a の平方根という。

a = 0 ならば a の平方根は 0 のみである。また、どんな正の実数 a に対しても平方根は正と負の2つ存在し、そのうち正である方を根号（こんごう）√ を用いて

$\sqrt{a}$

のように表して「正の（あるいは非負の）平方根」と呼ぶ（文脈上紛れのおそれの無いと思われるときは「正の」を省略してしまうこともある）。このとき、もう一方の「負の平方根」は −√a と表すことができる。また、2つの平方根を合わせて ±√a と表記することもできる。例えば、16 の平方根は 4 と −4 の2つであり、√16 は 4 の方を表す。√0 は、0 の唯一の平方根 0 を意味すると約束する。根号に関するこれらの規約は、非負の実数の範囲でのみ通用する便宜的なものである。

負の実数に対する平方根は、考える数の範囲を複素数まで拡大してやれば定義できる。また、数とは限らず、もっと一般にいくつかの数学的対象についても、それぞれに意味のある仕方で平方根が定義されるものがある。

[編集] いくつかの基本的なこと

与えられた値 a が整数であっても a の平方根は整数になるとは限らない。例えば √10 は小数表示すれば 3.16227766016… と小数部分が無限に続く無理数である。平方根がふたたび整数となるような整数は平方数と呼ばれる。整数や小数で表された数の平方根を、筆算で求める方法が知られていて、それを開平法という。

a = x² y のとき、 $\sqrt{a}=x\sqrt{y}$ であることから、整数 a が平方因子を持つ場合は、根号の中身が小さい別表示が与えられる。例えば $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ である。

正の平方根函数のグラフ。これは抛物線の半分になっている。

入力 x に対してその非負の平方根 √x を返す函数 f(x) = √x は非負実数全体の集合 R⁺ ∪ {0} 上で定義されていると考えると（函数として well-defined で）、それ自身への全単射になる。

$\mathbb{R}^+\cup \{0\} \ni x \xrightarrow{\text{1-1,onto}} \sqrt{x} \in \mathbb{R}^+\cup \{0\}$

また、（必ずしも正とは限らない）有理数全体で定義されていると考えるならば、その値域は代数的数からなる（代数的数全体の成す集合 A に含まれる）。

$\mathbb{Q} \ni x \mapsto \sqrt{x} \in \mathbb{A}$

実数 x に対して、その平方 x² は非負の実数であって

$\sqrt{x^2} = |x| \left(= \begin{cases} x, & \mbox{if }x \ge 0 \\ -x, & \mbox{if }x \le 0 \end{cases}\right)$ が成り立つ。ここで |x| は x の絶対値である。また、x と y が非負の実数であるときには

$\sqrt{xy} = \sqrt x \sqrt y$

が成り立つ。これは（証明を述べれば明らかであるが）非負の実数に対してその非負の平方根が一意に定まるということに依存して成立しており、後に述べるようにもっと一般の場合には保障されず実際に複素数の範囲の議論では破綻する。また、非負実数 x に対しては、その冪乗と冪根について

$x=(\sqrt{x})^2=(\sqrt[4]{x^2})^2=(\sqrt[6]{x^3})^2=\cdots$

が成立しており、特に

$x^{1/2} := \sqrt{x}$

と定めることは（有理数として 1/2 = 2/4 = 3/6 = … のように同じものに無数の表示があるということと矛盾しないという意味で）well-defined で、（指数法則の成立などのいくつかの性質に関して）整合的である。

[編集] 負の数・複素数の平方根

a が負の数のときは厄介な問題が生じる。平方根は実数の中には存在せず、複素数まで数の範囲を拡げると、 a の平方根、すなわち a = b² を満たすような b は二つ存在する。このうちのいずれを √a と定めるべきであるかということには必然的な答えを見出すことはできない。どちらを選んだのかを区別することができないのである。

b² = −1 の二つある根のうちどちらでもよいからひとつの解を i （虚数単位と呼ばれる）で表し、負の数 a に対して

$\sqrt{a} = \sqrt{|a|}\,i$

とする。

このように定義すれば、b² = a の根は ±√a と求めることができる（a = −1 のとき √−1 = i だからこう定めることに矛盾はない）。しかしながら、i は b² = −1 の根であればどちらでもよかったこと、どちらを選んでももう一方の根は −i であることを考えれば、負の数 a に対する √a という記号は単独で 方程式 b² = a の根のいずれか一方を一意的に指し示すものではなく 、 i のとり方に依存してようやく一つの数を指し示している、ということが理解されなければならない。