ブラック-ショールズ方程式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』

ブラック-ショールズ方程式（ぶらっく-しょーるずほうていしき）とはデリバティブ（金融派生商品）の価格づけに現れる偏微分方程式（及びその境界値問題）のことである。ブラック-ショールズモデルは1973年にフィッシャー・ブラック（Fischer Black）とマイロン・ショールズ（Myron Scholes）が共同で発表した理論であり、このモデルを使って当時の懸案であったヨーロピアン・コール（及びプット）オプション（満期日にのみ権利を行使できるオプション）のオプション・プレミアムを計算してみせた。後にロバート・マートンが彼らの方法に厳密な証明を与えた。これらの理論は現代金融工学のさきがけとなったとも言われる。

[編集] ブラック-ショールズモデル

ブラック-ショールズモデルとは、1 種類の配当のない株と 1 種類の債券の 2 つが存在する証券市場のモデルで、時刻 t における株価 S_t と債券価格 B_t が

d S t = S t (σ d W t + μ d t)

B t = exp(r t)

r,σ,μ

は定数

W t

は標準ブラウン運動

を満たすものをいう。

この σ をボラティリティ、μ をドリフトという。ボラティリティは株価の変動の激しさを表し、ドリフトは株価の平均増加率を表すと解釈できる。ここで、発展的可測な適合過程の組 (a_t(ω), b_t(ω)) （0≦t≦T）を取る。a_t(ω) は t 時点で状態が ω の場合の株式の保有量、b_t(ω) は同債券の保有量である。この組 (a, b) を、株式と債券の取引戦略という。

区間 [0, T] における取引戦略 (a, b) が自己資本充足的であるとは、任意の 0≦t≦T に対し、

$a_t + b_t = a_0 + b_0 + \int_0^t a_s dS_s + \int_0^t b_s dB_s$

を満たすことである。

[編集] ブラック-ショールズ方程式

[編集] ブラック-ショールズ方程式の導出

このモデルの下、満期 T において行使価格が K であるヨーロッパ型コールのオプション料 C = C(S_t, t) を考える。区間 [0, T] で自己資本充足的な取引戦略 (a, b) を、T 時点で C の価値が

C t = a t S t + b t B t

となる様に定める。これを複製ポートフォリオ（英：replicating portfolio）という。上式右辺の自己充足性により、

d C t = a t d S t + b t d B t = (μ a t S t + r b t B t) d t + σ a t S t d W t

である。他方、C は伊藤の補題により、

$dC_t = \frac{\partial C}{\partial t} dt + \frac{\partial C}{\partial S_t} dS_t + \frac {\sigma^2}{2} S_t^2\frac{\partial^2 C}{\partial S_t^2} dt$

$= \left(\frac{\partial C}{\partial t} + \mu S_t \frac{\partial C}{\partial S_t} + \frac {\sigma^2}{2} S_t^2 \frac{\partial^2 C} {\partial S_t^2} \right) dt + \sigma S_t \frac{\partial C}{\partial S_t} dW_t$

を満たすから、双方の式の右辺を等置し、

$a_t = \frac{\partial C}{\partial S_t}$

$\mu a_t S_t + r b_t B_t = \frac{\partial C}{\partial t} + \mu S_t \frac{\partial C}{\partial S_t} + \frac {\sigma^2}{2} S_t^2 \frac{\partial^2 C} {\partial S_t^2}$