シュテファン＝ボルツマンの法則

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シュテファン＝ボルツマンの法則（シュテファンボルツマンのほうそく、Stefan-Boltzmann law）は、黒体の表面から単位面積、単位時間当たりに放出される電磁波のエネルギー I が、その黒体の熱力学温度 T の4乗に比例するという物理法則である。ステファン＝ボルツマンの法則ともいう。ヨーゼフ・シュテファンが本法則を実験的に明らかにし（1879年）、弟子のルートヴィッヒ・ボルツマンが理論的な証明を与えた（1884年）。

I と T の間には

$I \, = \sigma T^4$

という関係が成り立つ。この時の比例係数σが、シュテファン＝ボルツマン定数（ステファン＝ボルツマン定数）である。この定数の値は、

$\sigma \simeq 5.67 \times 10^{-8} \quad \mathrm{ W \cdot m^{-2} \cdot K^{-4}}$

である。

[編集] プランクの放射公式からの導出

黒体放射のプランクの放射公式（英語：Planck's law of black body radiation）は、振動数νの関数として、

$\rho(\nu) = {8\pi \nu^2\over c^3}{h \nu\over e^{h \nu/kT}-1}$

c:光速度 h：プランク定数 k:ボルツマン定数

空洞内のエネルギー密度は、全振動数について積分することにより求められるから、

$\rho = \int_{0}^{\infty} \rho(\nu) d\nu = \int_{0}^{\infty} {8\pi \nu^2\over c^3}{h \nu\over e^{h \nu/kT}-1} d\nu = {8\pi h\over c^3} \int_{0}^{\infty} {\nu^3\over e^{h \nu/kT}-1} d\nu$

ここで、 $x = {h \over kT} \nu$ とおくと、

${8\pi h\over c^3} \int_{0}^{\infty} {1\over e^x-1} {k^3 T^3 \over h^3} x^3 {kT\over h} dx = {8\pi k^4 T^4\over c^3 h^3} \int_{0}^{\infty} {x^3\over e^x-1} dx$

$\int_{0}^{\infty} {x^3\over e^x-1} dx = {\pi^4 \over 15}$ であるから、

$\rho = {8\pi^5 k^4 \over 15 c^3 h^3} T^4$ となる。

エネルギー密度と放射強度の関係式 $I = {c \over 4} \rho$ に代入し、

$I = {c \over 4} \rho = {c \over 4} {8\pi^5 k^4 \over 15 c^3 h^3} T^4 = {2\pi^5 k^4 \over 15 c^2 h^3} T^4$

$π, k, c, h$ は、全て定数であるので、 ${2\pi^5 k^4 \over 15 c^2 h^3} = \sigma$ とおくと、 $I \, = \sigma T^4$ を得る。

$σ$ の値は次の通りである。

$\sigma = {2\pi^5 k^4 \over 15 c^2 h^3} \simeq {2 \times (3.1415)^5 \times (1.3807 \times 10^{-23} {\rm J{\cdot}K^{-1}})^4 \over 15 \times ( 2.9979 \times 10^8 {\rm m{\cdot}s^{-1}})^2 \times (6.6261 \times 10^{-34} {\rm J{\cdot}s})^3} \simeq 5.67 \times 10^{-8} \quad \mathrm{ W \cdot m^{-2} \cdot K^{-4}}$