Teoria ergodica
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La teoria ergodica (dal greco érgon, lavoro, energia, e odòs, strada, percorso) si occupa principalmente dello studio matematico del comportamento medio, a lungo termine, di sistemi dinamici.
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[modifica] La teoria
Il termine ergodico è stato introdotto da Boltzmann (1844-1906) con riferimento ai sistemi meccanici complessi, ai quali era attribuita, secondo l'ipotesi ergodica, la proprietà di assumere, nella loro evoluzione spontanea, tutti gli stati dinamici microscopici compatibili con il loro stato macroscopico. Le particelle costituenti il sistema, cioè, avrebbero dovuto assumere ogni insieme di valori istantanei di posizione e velocità le cui caratteristiche medie corrispondessero allo stato macroscopico del sistema.
Se lo stato del sistema viene rappresentato con un punto che si muove in un opportuno spazio delle fasi, e vincolato da considerazioni energetiche su una particolare superficie immersa in esso, l'ipotesi ergodica assicura che il punto finirebbe col passare prima o poi per tutti i punti della superficie. Questa congettura si è dimostrata falsa se applicata alla generalità dei sistemi meccanici per i quali era stata formulata, per cui si è cominciato a parlare di sistemi quasi-ergodici, che hanno la proprietà, più debole, di passare per stati arbitrariamente prossimi agli stati microscopici compatibili con l'energia totale.
[modifica] Biliardo bidimensionale
Un modello semplice per visualizzare l'ipotesi ergodica è costituito dal biliardo bidimensionale. Esso è un sistema dinamico in cui si considera il moto di una palla con velocità assegnata in una certa porzione del piano euclideo, che rimbalza elasticamente sul bordo di questa porzione. Secondo l'ipotesi ergodica la palla dovrebbe passare per ogni posizione possibile sulla porzione di piano assegnata. Questo modello è particolarmente semplice sia perché il moto avviene nel piano, sia perché la conservazione dell'energia è limitata alle considerazioni sulla sola energia cinetica.
Tuttavia anche nel caso di porzioni molto semplici, come il biliardo triangolare, le dimostrazioni di proprietà ergodiche non sono banali, e richiedono un formalismo matematico abbastanza sviluppato.
[modifica] Bibliografia
- V. Arnold, A. Avez, Ergodic Problems of Classical Mechanics , Benjamin, New York-Amsterdam, 1968.
- P. Halmos, Lectures on Ergodic Theory, Chelsea, 1956.
