Singolarità isolata

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In matematica, e più precisamente in analisi complessa, una singolarità isolata è un punto isolato in cui una funzione olomorfa non è definita (mentre risulta definita in ogni altro punto vicino). La funzione olomorfa può avere nel punto essenzialmente 3 tipi di comportamenti diversi, e a seconda del comportamento la singolarità è detta eliminabile, polo o essenziale.

Indice

1 Definizione
2 Sviluppo in serie di Laurent
3 Esempi
4 Proprietà
- 4.1 Traslazione della serie di Laurent
- 4.2 Singolarità essenziale
5 Singolarità all'infinito
6 Voci correlate

[modifica] Definizione

Sia $z 0$ un punto contenuto in un insieme aperto $A$ del piano complesso. Una funzione

$f: A\setminus\{z_0\}\to\mathbb C$

ha una singolarità isolata in $z 0$ se esiste un intorno $U$ di $z 0$ per cui la funzione è olomorfa in $U \setminus \{z_0\}$ . Quindi la funzione non è definita in $z 0$ , mentre in ogni altro punto sufficientemente vicino è definita e differenziabile in senso complesso.

[modifica] Sviluppo in serie di Laurent

La funzione $f$ ammette uno sviluppo come serie di Laurent nel punto $z 0$ . La funzione è quindi scrivibile in un intorno del punto come serie

$f(z) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n (z-z_0)^n.$

Si distinguono generalmente tre tipi di comportamento della $f$ vicino al punto di singolarità $z 0$ . Ciascuno di questi è determinato dallo sviluppo locale in serie di Laurent, oppure dal comportamento del modulo $| f (z) |$ vicino al punto.

[modifica] Singolarità eliminabile

La singolarità $z 0$ è eliminabile se esiste il limite

$\lim_{z \to z_0} f(z) = L\in\mathbb C$

Le condizioni seguenti sono equivalenti a questa:

I termini negativi della serie di Laurent sono tutti nulli, cioè $a n = 0$ per ogni $n < 0$ .
Il modulo $| f (z) |$ è limitato in un intorno di $z 0$ ,
La funzione si estende ad una funzione continua su tutto $A$ ,
La funzione si estende ad una funzione olomorfa su tutto $A$ .

Esempio: la funzione $f(z) = \frac {sin(z)}{z}$ presenta una singolarità eliminabile in z = 0.

[modifica] Polo

La singolarità $z 0$ è un polo se esiste un numero naturale $n > 0$ tale che esiste il limite

$\lim_{z \to z_0} (z - z_0)^{n} \cdot f(z) = L\in\mathbb C$

con $L \neq 0$ . Il numero $n$ è l'ordine o molteplicità del polo. Un polo di ordine 1 è detto semplice.

Le condizioni seguenti sono equivalenti a questa:

Esiste solo un numero finito (diverso da zero) di termini negativi non nulli della serie di Laurent. Cioè, esiste $n < 0$ tale che $a_n\neq 0$ e $a k = 0$ per ogni $k < n$ .
Il modulo $| f (z) |$ tende a $+\infty$ se $z$ tende a $z 0$ ,
La funzione $g (z) = 1 / f (z)$ è definita in un intorno di $z 0$ ed ha una singolarità eliminabile in $z 0$ .

Esempio: la funzione $f(z) = \frac {1}{(z - 1)^2}$ presenta un polo di ordine 2 (n = 2), detto anche polo doppio, in z = 1.

[modifica] Singolarità essenziale

Una singolarità essenziale è una singolarità che non rientra nei casi precedenti, cioè che non sia né una singolarità eliminabile né un polo. Le condizioni seguenti sono equivalenti a questa:

Esiste un numero infinito di termini negativi non nulli della serie di Laurent. Cioè, per ogni $n 0 < 0$ esiste un $n < n 0$ con $a_n\neq 0$ .
Il modulo $| f (z) |$ non ha limite per $z$ tendente a $z 0$

[modifica] Esempi

Ogni funzione

$f(z) = \frac {p(z)}{q(z)}$

scritta come rapporto di due polinomi è definita nell'aperto $A$ ottenuto rimuovendo da $\mathbb C$ le radici $z_1,\ldots, z_k$ di $q$ . Se queste non sono anche radici di $p$ , in ogni $z i$ la funzione ha un polo, il cui ordine è pari alla molteplicità della radice.

La funzione

$f(z) = e^\frac 1z$

definita su $\mathbb C \setminus\{0\}$ ha una singolarità essenziale in $0$ . Infatti lo sviluppo di Laurent è

$f(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac {\,z^{-n}}{n!}$

ed ha infiniti termini negativi non nulli.

[modifica] Proprietà

[modifica] Traslazione della serie di Laurent

Sia $k$ un numero intero. Moltiplicando la funzione $f (z)$ per $(z - z 0) k$ , i coefficienti della serie di Laurent centrata in $z 0$ vengono traslati di $k$ posti (a sinistra o a destra a seconda del segno di $k$ ). In questo modo è possibile modificare l'ordine di un polo, trasformare ogni polo in singolarità eliminabile, oppure viceversa creare poli a partire da singolarità eliminabili.

Se la singolarità è essenziale, rimane tale anche dopo la moltiplicazione per $(z - z 0) k$ .

[modifica] Singolarità essenziale

Una funzione vicino ad una singolarità essenziale è estremamente discontinua. Per il Teorema di Casorati-Weierstrass, l'immagine $f (U)$ di ogni intorno aperto $U$ di $z 0$ è un aperto denso del piano complesso. Il teorema di Picard afferma di più: $f (U)$ è tutto il piano complesso, oppure il piano tranne un punto.

Da questo segue ad esempio che per ogni numero complesso $λ$ esiste una successione di punti $z_i\to z_0$ convergenti a $z 0$ tali che $f(z_i)\to\lambda$ . In altre parole, la funzione intorno a $z 0$ "converge a qualsiasi cosa".

[modifica] Singolarità all'infinito

Per una funzione intera

$f:\mathbb C \to \mathbb C$

(o più in generale una funzione olomorfa definita sul complementare di un compatto di $\mathbb C$ ) è possibile parlare di singolarità all'infinito. Questa è la singolarità in $0$ della funzione

$g:\mathbb C\setminus\{0\}\to\mathbb C$

definita come $g (z) = f (1 / z)$ . In particolare, la singolarità all'infinito può essere eliminabile, un polo o essenziale. Si può studiare una singolarità all'infinito di una funzione $f (z)$ cambiando la variabile:

$z= \frac{1}{\eta}$

allora il punto all'infinito diventa l'origine e acquisisce il tipo di singolarità della funzione $f (η)$ nel punto $η = 0$ .

Il Teorema di Liouville dice che una funzione intera avente singolarità eliminabile all'infinito è costante.

[modifica] Voci correlate

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Categoria: Analisi complessa

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[modifica] Sviluppo in serie di Laurent

[modifica] Singolarità eliminabile

[modifica] Polo

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[modifica] Traslazione della serie di Laurent

[modifica] Singolarità essenziale

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