Teorema di Casorati-Weierstrass

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Modello del grafico di exp(1/z) centrato nella singolarità essenziale 0. La tonalità rappresenta l'argomento del valore, l'intensità il modulo. L'immagine mostra come arbitrariamente vicino allo zero la funzione assuma ogni valore e come avvicinandosi da punti diversi essa abbia comportamenti diversi.

Il teorema di Casorati-Weierstrass in analisi complessa descrive il particolare comportamento di funzioni olomorfe nei pressi di singolarità essenziali. Il teorema è così chiamato in onore di Karl Theodor Wilhelm Weierstrass e Felice Casorati.

[modifica] Premesse

Sia U un sottoinsieme aperto del piano complesso contenente il numero z₀, e sia f una funzione olomorfa f definita in U − {z₀}. Il numero complesso z₀ prende il nome di singolarità essenziale per f se non esiste alcun numero naturale n tale che il limite

$\lim_{z \to z_0} f(z) \cdot (z - z_0)^n$

esista. Per esempio, la funzione f(z) = exp(1/z) ha una singolarità essenziale in z₀ = 0, mentre la funzione g(z) = 1/z³ no (ha infatti un polo in 0).

Condizione necessaria e sufficiente perché un punto z₀ sia una singolarità essenziale isolata per f è che

$\limsup_{z\rightarrow z_0}|f(z)|=\infty$

$\liminf_{z\rightarrow z_0}|f(z)|=0$

[modifica] Enunciato

Se una funzione complessa olomorfa f ha una singolarità essenziale in z₀, e se V è un qualunque intorno di z₀ contenuto nel campo di olomorfia U di f, allora f(V − {z₀}) è denso in C.

O, equivalentemente:

Sia ε > 0 e sia I un intorno arbitrario di z₀. Per ogni numero complesso w esistono infiniti punti z ∈ I tale che |f(z) - w| < ε.

[modifica] Dimostrazione

Sia w un numero complesso arbitrario. Se z₀ è una singolarità essenziale per f(z), è tale anche per la funzione $f (z) - w$ . Si avrà quindi:

$\liminf_{z\rightarrow z_0}|f(z)-w|=0$ ,

e dalla definizione di limite inferiore segue subito il teorema.

[modifica] Sviluppi

Il teorema venne considerevolmente rafforzato dal teorema di Picard che afferma che, utilizzando la notazione di cui sopra, f assume ogni valore complesso, con una sola possibile eccezione, infinite volte in V.