Polo (analisi complessa)

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Il modulo della funzione Gamma con alcuni poli.

In analisi complessa per polo di una funzione olomorfa $f (z)$ , si intende una singolarità isolata $z 0$ della funzione per cui

$\lim_{z\to z_0} |f(z)| = \infty.$

Il polo si distingue dalla singolarità eliminabile e dalla singolarità essenziale, per le quali tale limite rispettivamente è finito e non esiste.

La conoscenza delle caratteristiche dei poli di una funzione olomorfa consente di determinare molte delle sue caratteristiche; inoltre lo studio dei poli è fondamentale nel calcolo dei residui.

[modifica] Serie di Laurent

Una definizione equivalente può essere data tramite serie di Laurent. Una singolarità isolata $z 0$ è un polo se e solo se lo sviluppo locale in serie di Laurent è del tipo

$f (z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n \left ( z-z_0 \right )^n + \frac {b_1}{z-z_0} + \cdots + \frac {b_k}{\left( z-z_0 \right)^k}$

con $b_k\neq 0$ , per qualche $k > 0$ . In altre parole, la serie di Laurent si esprime come

$f(z) = \sum_{n=-k}^{\infty} a_n \left ( z-z_0 \right )^n,$

con un numero finito (ma diverso da zero) di coefficienti $b i$ non nulli, fra quelli con apice $i < 0$ negativo.

[modifica] Ordine del polo

L'ordine del polo è il numero naturale $k$ .

Analogamente, $z 0$ è un polo se per qualche $h > 0$ il limite:

$b_h = \lim_{z \rightarrow z_0} f(z) \left ( z-z_0 \right )^h$

esiste ed è diverso da zero. In questo caso la funzione ha nel punto $z 0$ un polo di ordine $h$ .

[modifica] Esempi

Una funzione

$f(z) = \frac {p(z)}{q(z)}$

dove $p$ e $q$ sono polinomi senza radici in comune (quindi la funzione è ridotta ai minimi termini), è definita su

$\mathbb C\setminus\{z_1,\ldots,z_n\}$

dove $z_1,\ldots,z_n$ sono le radici di $q$ . Ciascuno di questi punti è un polo, il cui ordine è pari alla molteplicità della radice. Ad esempio,

$f(z) = \frac {z+1}{z(z-1)^2}$

ha un polo di ordine 1 in 0 ed un polo di ordine 2 in 1.

La funzione

$f(x) = \frac{1}{\sin x}$

è definita su

$\mathbb C\setminus \{k\pi\ |\ k\in\mathbb Z\}$

ed ha un polo di ordine uno su ogni punto $k π$ . Ha quindi infiniti poli.

[modifica] Funzione meromorfa

Una funzione olomorfa $f$ avente poli nei punti $z_1,\ldots z_n$ può essere considerata come una funzione il cui dominio comprende anche questi punti, il cui codominio è la sfera di Riemann $\mathbb C\cup\{\infty\}$ : è sufficiente imporre $f(z_i)=\infty$ . Il risultato di questa operazione è una funzione meromorfa.