Numero iperreale

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Un numero iperreale è un elemento cardine nell'analisi non standard, introdotta dalle ricerche di Abraham Robinson dell'università di Yale nel 1966 sul suo libro Non-Standard Analysis.

Indice

1 Definizione
- 1.1 Non continuità della retta degli iperreali
2 Costruzione dell'insieme degli iperreali
- 2.1 Operazioni e relazioni
3 Voci correlate
4 Bibliografia
5 Collegamenti esterni

[modifica] Definizione

Un numero iperreale è un numero appartenente all'insieme $\mathbb{R}^{*}$ , una struttura matematica che può essere costruita a partire da $\mathbb{R}$ , ma che risulta più ampia. Esso viene definito a partire dal numero infinitesimo.

Secondo Robinson un infinitesimo è un numero ε minore in valore assoluto di qualsiasi $\frac{1}{n}$ per ogni $n\in\mathbb{N}$ . A differenza di Leibniz, egli attribuisce a tali ε la dignità di numeri:

la categoria dei numeri iperreali è l'insieme dei reali, degli infinitesimi, dei reciproci degli infinitesimi (numeri infiniti) e di altri numeri infinitamente vicini ai reali

Un numero iperreale non infinito è, pertanto, della forma:

a+ε

dove a è un numero reale ed ε un infinitesimo. Di conseguenza, attorno ad un numero reale, esiste un intorno di numeri iperreali a distanza infinitesima da esso, i quali costituiscono l'insieme degli a + ε: tale insieme viene detto monade e viene indicato con μ(a).

Si dimostra che ε è minore di ogni numero reale positivo.

[modifica] Non continuità della retta degli iperreali

La retta dei reali è immersa nella retta degli iperreali. Per quest'ultima non vale l'assioma di Archimede, quindi non è detto che, dati due numeri a e b, con a < b, esista un intero N per cui vale la relazione Na > b. Come conseguenza, non sempre esiste l'elemento di separazione tra due semirette.

Dimostrazione

Supponiamo infatti di dividere la retta degli iperreali in due semirette: una parte r che contiene tutti gli iperreali negativi, lo zero e tutti gli iperreali infinitesimi. L'altra parte r' contiene tutti gli iperreali non infinitesimi positivi. Per assurdo, supponiamo che σ sia l'elemento di separazione: esso sarà maggiore di zero e maggiore di tutti gli elementi di r. Se σ appartenesse ad r, sarebbe infinitesimo. Ma, per la definizione di infinitesimo, anche 2σ e Nσ, con N grande a piacere, lo sarebbero, ed apparterrebbero ad r. Tuttavia Nσ>σ e dunque non può essere σ l'elemento di separazione. Se supponiamo invece che σ appartenga ad r' , allora non è infinitesimo, e dunque nemmeno σ/2 o σ/N, con N grande a piacere. Ma simmetricamente σ/N< σ, e ciò non è possibile. Quindi non esiste un elemento di separazione tra r' ed r.

[modifica] Costruzione dell'insieme degli iperreali

In questo modo si è in grado di costruire un insieme iperreale più ampio rispetto a quello reale. Si indichi l'insieme dei reali, dotato delle operazioni di somma e prodotto ed ordinato usualmente, nel modo seguente:

$\mathfrak{R} = (\mathbb{R}, +, \cdot, \le)$

L'insieme degli iperreali sarà pertanto indicato come:

$\mathfrak{R}^{*} = (\mathbb{R}^{*}, +^{*}, \cdot^{*}, \le^{*})$

Sia ora $\mathbb{N}$ l'insieme dei numeri naturali e $\hat \mathbb{R}$ l'insieme delle successioni dei numeri reali, di modo che ciascun suo elemento abbia la forma:

$r = \langle r_1, r_2, r_3, ... \rangle = \langle r_i \rangle$ con $i \in \mathbb{N}$

Le operazioni di somma e moltiplicazione sono pertanto definite da:

$r \oplus s = \langle r_i + s_i \rangle$

$r \otimes s = \langle r_i \cdot s_i \rangle$

Ora, se r ed s sono due elementi di $\hat \mathbb{R}$ , allora si dirà che $r \equiv s$ se e solo se $\{i \in \mathbb{N} : r_i = s_i \} \in \mathfrak{U}$ , dove $\mathfrak{U}$ è un ultrafiltro sui naturali.

Questa relazione $\equiv$ sarà di equivalenza su $\hat \mathbb{R}$ . A questo punto è possibile partizionare tale insieme in classi di equivalenza. L'insieme di queste classi è indicato con $\mathbb{R}^{*}$ e la classe contenente una particolare successione s, sarà indicata da [s] o s. Gli elementi di $\mathbb{R}^{*}$ sono detti numeri iperreali.

[modifica] Operazioni e relazioni

A questo punto è possibile definire operazioni e relazioni sugli iperreali:

$r + s = [ \langle r_i + s_i \rangle ]$ cioè $[r] + [s] = [r \oplus s]$
$r \cdot s = [ \langle r_i \cdot s_i \rangle ]$ cioè $[r] \cdot [s] = [r \otimes s]$
$r < s \!$ se e solo se $\{i \in \mathbb{N} : r_i < s_i \} \in \mathfrak{U}$
$r \le s$ se e solo se $r < s \!$ o $r = s \!$