Ultrafiltro

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In teoria degli insiemi un ultrafiltro $\mathcal A$ è un filtro proprio sull'insieme A che gode della seguente proprietà:

Ogni sottoinsieme di A o il suo complemento è contenuto in $\mathcal A$ , in formule

$\forall X \subseteq A: (X \in \mathcal A) \lor (\bar X \in {\mathcal A})$

Sia il concetto di filtro che di ultrafiltro furono introdotti da Henri Cartan nel 1937.

Teorema

Ogni filtro principale è un ultrafiltro.

Sia x un elemento di A, e $\mathcal A$ il filtro principale generato da x. Allora, per ogni sottoinsieme S di A, se $x \in S$ , allora $S \in \mathcal A$ . Se invece $x \not \in S$ , per la definizione di insieme complemento, $x \in {\bar S}$ e quindi $\bar S \in \mathcal A$ $\Box$ .

In base a ciò, e senza perdita di generalità, l'ultrafiltro può anche intendersi come un filtro massimale su un'algebra di Boole.

Teorema

Il filtro cofinito, cioè l'insieme $\mathcal S$ dei sottoinsiemi cofiniti di A, non è un ultrafiltro.

Sia S un sottoinsieme cofinito, ossia che contiene tutti gli elementi di A tranne un numero finito. Se A è finito, $\mathcal S$ non è un filtro proprio: infatti l'insieme A-{x} ottenuto togliendo un elemento all'insieme di partenza è cofinito, e dunque sta in $\mathcal S$ , ma contiene $\varnothing$ e dunque non è un filtro proprio. Se invece A è infinito, $\exists X \subset A$ tale che sia $X$ che $\bar X$ sono infiniti, e dunque né l'uno né l'altro sono in $\mathcal S$ $\Box$ .