Ultrafilter

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Ein Ultrafilter ist in der Mathematik ein Filter, das sich nicht weiter verfeinern lässt. Man kann die Ultrafilter grob in zwei Arten unterteilen: als erstes seien die Elementarfilter genannt. Dies sind Filter, die durch eine Einpunktmenge erzeugt werden. Sie sind Ultrafilter, und es sind die einzigen Ultrafilter, die man explizit konstruieren kann. Die zweite Art der Ultrafilter sind die freien Ultrafilter. Sie lassen sich nur mit Hilfe des Auswahlaxioms konstruieren.

Inhaltsverzeichnis 1 Definitionen 2 freies Ultrafilter 3 Ultrafilter einer Ordnung 4 Beispiele 5 Literatur

[Bearbeiten] Definitionen

Die folgenden Aussagen über ein Filter auf einer Menge X sind äquivalent und können zur Definition eines Ultrafilters dienen:

• ist ein Ultrafilter auf X.
• Es existiert kein Filter, das echt feiner als ist.
• Für jede Teilmenge A von X gilt, dass entweder A selbst oder ihr Komplement Element von ist:

  

[Bearbeiten] freies Ultrafilter

Wir sagen, ein Ultrafilter heißt freies Ultrafilter, wenn die Schnittmenge aller seiner Elemente die leere Menge ist.

[Bearbeiten] Ultrafilter einer Ordnung

Im Kontext der allgemeineren Definition von Filter als Teilmenge einer halbgeordneten Menge P heißt ein Filter F Ultrafilter, wenn es kein feineres Filter als F gibt, das nicht schon ganz P ist - formal ausgedrückt: Wenn F' ein Filter auf P ist mit , dann gilt F' = F oder F' = P.

Diese allgemeinere Definition stimmt in dem Spezialfall, dass P die Potenzmenge einer Menge X ist, mit der zuerst gegebenen überein.

Mit Hilfe des Zornschen Lemmas kann man zeigen, dass jedes Filter in einem Ultrafilter enthalten ist.

[Bearbeiten] Beispiele

• Der Umgebungsfilter eines Punktes in der Topologie ist nur in der diskreten Topologie ein Ultrafilter.
• Zur Konstruktion hyperreeller Zahlen verwendet man einen Ultrafilter auf den natürlichen Zahlen:

Der kofinite Filter auf den natürlichen Zahlen ist der Filter, der nur die Komplemente endlicher Mengen natürlicher Zahlen enthält. Der kofinite Filter ist selbst kein Ultrafilter (denn er enthält weder die Menge der geraden noch die Menge der ungeraden natürlichen Zahlen), ist aber in einem Ultrafilter enthalten - diesen kann man nicht konkret angeben, es gibt auch mehrere mögliche. Entscheidet man sich für einen davon (nicht-konstruktiv), kann man hyperrelle Zahlen definieren.

[Bearbeiten] Literatur

• Boto v. Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3. Auflage. Springer, Berlin 2001, ISBN 3540677909
• Skript zur Mengentheoretische Topologie (im PDF-Format, deutsch)