Modulo di continuità
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In matematica, il modulo di continuità è uno strumento per misurare il comportamento di una funzione. È un modo per analizzare funzioni "patologiche", ma che soddisfano comunque certe condizioni molto generalizzate di regolarità.
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[modifica] Definizione
Sia f una funzione di variabile reale, t un punto del suo dominio e δ un numero reale positivo. Si definisce il modulo di continuità locale di f in t come
Il suo modulo di continuità (detto anche globale) è definito infine come
Dalla definizione si nota che il dominio di f può essere un qualsiasi spazio metrico (ponendo | s − t | = d(s,t)). Intuitivamente, una maggiore regolarità della funzione implica un piccolo ωf.
[modifica] Esempi
La connessione tra regolarità in termini di funzione liscia e modulo di continuità per funzioni definita sull'intera retta reale è molto delicata. Basti ad esempio la considerazione che, se f = sin(x2), ωf(δ) = 2 per ogni δ, anche se sin(x2) è infinitamente differenziabile. La discussione si fa più particolareggiata se il dominio è un intervallo chiuso (più in generale uno spazio compatto).
Per una funzione derivabile in un intervallo il modulo di continuità ha crescita sub-lineare, cioè soddisfa
per una costante C che risulta dipendente dal valore assoluto della sua derivata.
Le funzioni hölderiane corrispondono a precisi moduli di continuità. f appartiene alla classe C0,α se e solo se
per qualche costante C.
Ribaltando il punto di vista, affinché una funzione ω definita sui reali positivi sia il modulo di continuità di una qualche funzione continua, è condizione necessaria e sufficiente che essa sia non decrescente, continua, subadditiva e che ω(0) = 0.
[modifica] Storia
La definizione è stata introdotta da Henri Lebesgue nel 1910 in riferimento all'oscillazione di una trasformata di Fourier, ma il concetto era conosciuto già da tempo. De la Vallee Poussin nel 1919 nominava come termine alternativo "modulo di oscillazione", ma concludeva "ma continueremo a usare "modulo di continuità" per sottolineare l'uso che vogliamo farne".
[modifica] Moduli di continuità di ordine superiore
Dalla considerazione che
dove Δh(f,x) è la differenza finita di prim'ordine di f in x, sostituendo tale differenza con una di ordine superiore otteniamo un modulo di continuità di ordine n:
[modifica] Bibliografia
- Ch. de la Vallée Poussin, L'approximation des fonctions d'une variable réelle, Gauthier-Villars, Paris, 1919
[modifica] Voci correlate
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