Funzione di Dirichlet

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La funzione di Dirichlet è una funzione di variabile reale, che assume due soli valori, diversi a seconda che la variabile indipendente sia razionale o irrazionale. Questa funzione fu introdotta da Peter Dirichlet come esempio di funzione molto lontana dalle tradizionali funzioni note fino ad allora nell'analisi matematica.

[modifica] Definizione

La funzione di Dirichlet è definita nel modo seguente:

$\chi(x)=\left\{ \begin{matrix} 1 & x \in \mathbb{Q} \\ 0 & x \in \mathbb{R} - \mathbb{Q} \end{matrix} \right.$

È la funzione indicatrice dell'insieme dei razionali $\mathbb{Q}$ . Viene talora chiamata funzione di Dirichlet la funzione definita a valori invertiti:

$\chi(x)=\left\{ \begin{matrix} 0 & x \in \mathbb{Q} \\ 1 & x \in \mathbb{R} - \mathbb{Q} \end{matrix} \right.$

Nel seguito quest'ultima funzione sarà indicata come $1 - χ$ .

[modifica] Continuità e integrabilità

La funzione di Dirichlet è un esempio di funzione che non è continua in nessun punto del dominio, infatti ogni intorno di qualsiasi punto contiene sempre almeno un numero razionale e un numero irrazionale (in effetti infiniti punti per entrambe le categorie) e quindi due punti in cui la funzione assume valore 0 e 1.

La funzione è non integrabile secondo Riemann ma integrabile secondo Lebesgue. Poiché la funzione assume quasi ovunque valore 0 (essendo l'insieme dei numeri razionali un insieme di misura nulla) ll risultato dell'operazione di integrazione su qualunque intervallo $[a, b]$ è 0. Per analoghe ragioni, l'integrale della funzione $1 - χ$ sull'intervallo $[a, b]$ vale $b - a$ .

[modifica] Altre proprietà

Il grafico della funzione apparirebbe come due rette orizzontali, di ordinata 0 e 1, "sbiadite", ovvero fatte di tanti punti infinitamente vicini e "buchi" puntiformi infinitamente vicini.

La funzione di Dirichlet è approssimabile mediante funzioni continue secondo la formula seguente:

$\chi(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} \lim_{m \rightarrow \infty} \left[ \cos \left( 2 \pi n! x \right) \right]^m$ .

La funzione 1 − χ presenta inoltre un minimo relativo e assoluto improprio per ogni x razionale,e un massimo relativo e assoluto improprio per ogni x irrazionale.