Функция Дирихле
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Фу́нкция Дирихле́ — функция 
,принимающая значение 1, если аргумент рационален, и 0, если аргумент иррационален,
.
График данной функции построить невозможно, поскольку она разрывна в каждой точке: между любыми двумя рациональными числами есть хотя бы одно иррациональное.
Так как в любой окрестности любой точки вещественной прямой содержатся как рациональные, так и иррациональные числа (а значит, как нули, так и единицы функции), ни в одной точке у D(x) нет предела, а значит, она разрывна на всей числовой прямой, причём все точки разрыва — второго рода. График функции изобразить невозможно (при любом приближении он представлял бы собой на вид две параллельные прямые).
Функция Дирихле применяется в теории вероятности и математической статистике.
Названа в честь немецкого математика Дирихле.
[править] Свойства
- Область определения —
- Область значения — 0,1
- Функция Дирихле — пример функции не интегрируемой в смысле Римана. Однако, интеграл Лебега от функции Дирихле на любом числовом промежутке может быть легко найден, он всегда равен нулю. Это следует из того, что мера Лебега множества рациональных чисел равна нулю.
- Функция Дирихле принадлежит второму классу Бэра. То есть, её нельзя представить как предел непрерывных функций, но можно задать как предел пределов непрерывных функций:
