Dirichlet-Funktion

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Die Dirichlet-Funktion (nach dem deutschen Mathematiker Peter Gustav Lejeune Dirichlet, manchmal auch als Dirichletsche Sprungfunktion bezeichnet) ist folgendermaßen definiert:

$D(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{wenn }x\mbox{ rational} \\ 0, & \mbox{wenn }x\mbox{ irrational} \end{cases}$

Sie ist ein Beispiel für

eine an jeder Stelle ihres Definitionsbereiches unstetige Funktion,
eine Funktion der zweiten Klasse in der Klassifikation von Baire:

$D(x)=\lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty}\cos^{2n}m!\pi x,$ ,

eine Lebesgue-integrierbare Funktion, die aber nicht Riemann-integrierbar ist.

[Bearbeiten] Riemann-Integrierbarkeit

Die Dirichlet-Funktion ist in keinem echten Intervall Riemann-integrierbar, da für jede Zerlegung $Z$ im Teilintervall $\left [ x_{k-1}, x_k \right ]$ stets sowohl rationale als auch irrationale Zahlen liegen und somit

die Untersumme $U(Z)=\sum_{k=1}^n(x_k-x_{k-1})\cdot\inf_{x_{k-1}<x<x_k}f(x)$

stets 0 ist (weil das Infimum stets 0 ist) und

die Obersumme $O(Z)=\sum_{k=1}^n(x_k-x_{k-1})\cdot\sup_{x_{k-1}<x<x_k}f(x)$

stets die Länge des Intervalles über das integriert wird ist (weil das Supremum immer 1 ist und somit einfach die Länge der einzelnen Teilintervalle addiert wird).

R-Integrierbarkeit verlangt aber gerade die Gleichheit, also dass gilt:

OberIntegral = kl. Obersumme = gr. Untersumme = UnterIntegral

$\overline{\int_a^b}f(x)\,\mathrm dx=\inf_ZO(Z)=\sup_ZU(Z)=\underline{\int_a^b}f(x)\,\mathrm dx$

Da aber für jede beliebigen Zerlegungen die Unter- und Obersummen nicht gegen den gleichen Wert konvergieren, ist D(x) auf keinem Intervall Riemann-integrierbar.

[Bearbeiten] Lebesgue-Integrierbarkeit

Da die Dirichlet-Funktion eine einfache Funktion ist, also eine Funktion, die nur endlich viele Werte annimmt, die noch dazu nichtnegativ sind, lässt sich das Lebesgue-Integral über ein beliebiges Intervall I wie folgt schreiben:

$\int_{I} D(x)\lambda(dx) = 0 \cdot \lambda(I \cap \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}) + 1 \cdot \lambda(I \cap \mathbb{Q})$ ,

wobei $λ$ für das Lebesgue-Maß steht.

Bei jedem beliebigen Wert von $\lambda(I \cap \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})$ ergibt sich aus der Multiplikation mit 0 das Resultat 0. Das gilt aufgrund einer Konvention in der Maßtheorie auch dann, wenn der andere Faktor unendlich ist. Im Gegensatz dazu ist $\lambda(I \cap \mathbb{Q})$ stets 0, da die Punktmenge $\mathbb{Q}$ der rationalen Zahlen abzählbar ist.