Formula di Eulero-Maclaurin

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In matematica, e in particolare nel calcolo infinitesimale, la formula di Euler - Maclaurin fornisce un collegamento potente tra integrali (vedi calcolo infinitesimale) e somme. Essa si può usare per approssimare integrali con somme finite, o viceversa per valutare somme finite e somme di serie infinite usando integrali e computer.

La formula è stata scoperta indipendentemente da Leonhard Euler e Colin Maclaurin attorno al 1735. Euler l'ha trovata mentre cercava di calcolare lentamente la convergenza delle serie infinite, mentre Maclaurin l'ha utilizzata per calcolare degli integrali.

Se n è un numero naturale e f(x) è una funzione semplice (cioè una funzione differenziabile un numero sufficientemente elevato di volte) definita per tutti i numeri reali x tra 0 e n, allora l'integrale

$I=\int_0^n f(x)\,dx$

può essere approssimato con la somma

$S = f(0)/2+f(1)+\cdots+f(n-1)+f(n)/2$

(vedi regola del trapezio). La formula di Euler - Maclaurin fornisce espressioni per la differenza tra la somma e l'integrale in termini di derivate di ordine elevato f^(k) nei punti finali dell'intervallo 0 e n. Per ogni numero naturale p, abbiamo

$S-I=\sum_{k=1}^p\frac{B_{2k}}{(2k)!}\left(f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(0)\right)+R$

dove B₂ = 1/6, B₄ = -1/30, B₆ = 1/42, B₈ = -1/30 ... sono i numeri di Bernoulli.

R è un termine di errore che è normalmente piccolo se p è abbastanza grande e può essere stimato come

$\left|R\right| \leq \frac{2}{(2\pi)^{2p}} \int_0^n dx \, \left|f^{(2p+1)}(x)\right|.$

Impiegando la regola di sostituzione, si può adattare questa formula anche alle funzioni f che sono definite su qualche altro intervallo della retta reale.

Se f è un polinomio e p è abbastanza grande, allora il termine residuo vale zero. Per esempio, se f(x) = x³, può essere scelto p = 2 per ottenere dopo la semplificazione

$\sum_{i=0}^n i^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2.$

Con la funzione f(x) = log(x), la formula di Euler - Maclaurin può essere usata per derivare con precisione l'errore stimato per l'approssimazione di Stirling della funzione fattoriale.