Equazione di stato dei gas perfetti

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L'equazione di stato dei gas perfetti, nota anche come legge dei gas perfetti, descrive le condizioni fisiche di un "gas perfetto" o di un gas "ideale", correlandone le funzioni di stato: quantità di sostanza, pressione, volume e temperatura.

Indice

1 Formulazione
- 1.1 Formulazione alternativa (microscopica)
2 Dimostrazione
3 Corollario
4 Animazione interattiva in Java
5 Voci correlate

[modifica] Formulazione

La sua espressione più comune è

$pV = nRT \! \;$

in cui

p è il valore della pressione del gas;
V è il volume occupato dal gas;
n è il numero di moli del gas;
R è la costante universale dei gas, il cui valore varia in funzione delle unità di misura adottate per esprimere le altre grandezze nell'equazione;
T è la temperatura assoluta del gas, generalmente espressa in kelvin.

Il valore di R nel Sistema Internazionale è:

$R = 8,\! 314472 \ \mathrm{J \over { mol \cdot K } }$

a volte nei calcoli, specialmente in chimica, si utilizza il valore di:

$R = 0,\! 0821 \ \mathrm{ { l \cdot atm } \over { mol \cdot K } } \, .$

Questa equazione rappresenta una generalizzazione delle leggi empiriche osservate da Boyle (in un gas, in condizioni di temperatura costante, il volume è inversamente proporzionale alla pressione), Gay-Lussac (in un gas a volume costante, la pressione è proporzionale alla temperatura assoluta) e Charles (in un gas a pressione costante, il volume è proporzionale alla temperatura assoluta), ottenibili rispettivamente per T costante, V costante e P costante.

L'equazione di stato dei gas perfetti descrive bene il comportamento dei gas reali per pressioni non troppo elevate e per temperature non troppo vicine alla temperatura di liquefazione del gas. In questi casi, una migliore descrizione del comportamento del gas è dato dall'equazione di stato di van der Waals

[modifica] Formulazione alternativa (microscopica)

Spesso in meccanica statistica si preferisce utilizzare una forma alternativa per la legge che contenga il numero di molecole di gas piuttosto che il numero di moli.

Definita la costante di Boltzmann

$k = { R \over N_a }$

dove $N a$ è il numero di Avogadro; e osservato che $N = N a n$ è il numero di molecole del gas si ricava:

$pV = nRT = { N \over N_a } RT = N { R \over N_a } T = NkT$

$pV = k\ NT$

[modifica] Dimostrazione

L'equazione di stato dei gas perfetti è dimostrabile a partire dalle leggi empiriche di Boyle, Charles e Gay-Lussac.

Si consideri un volume $v$ di gas ad uno stato iniziale caratterizzato da:

$\begin{align} p_0 &= 1 \ \mathrm{atm} \\ t_0 &= 0 \ \mathrm{^\circ C} \, . \\ \end{align}$

Si consideri una trasformazione isobara (a pressione costante) applicata a questo volume di gas: il volume alla fine dalla trasformazione sarà, secondo la legge di Charles:

$v' = v_0(1 + \alpha t) \,$

e la temperatura sarà $t$ .

Se poi si fa andare il volume così ottenuto incontro ad una trasformazione isoterma otterremo, secondo la legge di Boyle:

$p_0v' = pv \,\!$

Quindi:

$\begin{align} pv &= p_0v' \\ pv &= p_0v_0 \, (1 + \alpha t) \\ pv &= p_0 \, {v_0 \over 273,\! 15}T \, . \\ \end{align}$

Dove $p_0{v_0 \over 273,\! 15}$ ha carattere di universalità ed è la costante R. Adottando questa notazione abbiamo che:

$pv = RT \,\!$

Moltiplicando ambo i membri per n (numero di moli):

$pnv = nRT \,\!$

Dove $n v$ è il volume di n moli, indicato con V. Utilizzando questa notazione otteniamo infine:

$pV = nRT \,\!$

[modifica] Corollario

L'equazione di stato dei gas perfetti viene anche ridotta nella maniera seguente: $\frac{pV}{T}=k$ , cioè il prodotto di pressione, volume e dell'inverso della temperatura assoluta è costante nelle varie trasformazioni fisiche a cui il gas perfetto venga sottoposto.

[modifica] Animazione interattiva in Java

In questa pagina è disponibile un'animazione interattiva che permette di osservare "sperimentalmente" il comportamento di un gas al variare della pressione (cursore indicato con P), della temperatura (cursore T) e del numero di molecole (cursore N).