Equazione del tempo

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Durante il corso dell'anno, il tempo indicato da una meridiana differisce dal tempo indicato da un orologio di un valore che va da +16 minuti e 33 secondi (tra il 31 ottobre ed il 1° novembre) e -14 minuti e 6 secondi (tra l'11 e il 12 febbraio).

Questo scostamento è chiamato equazione del tempo ed è la conseguenza della combinazione dell'inclinazione e dell'eccentricità dell'orbita terrestre. La rappresentazione visiva di questa equazione è l'analemma.

Anche gli altri pianeti hanno una loro specifica equazione del tempo. Su Marte la differenza tra tempo solare e tempo medio arriva a 50 minuti.

[modifica] Tempo apparente e tempo medio

La rotazione della Terra rappresenta un preciso orologio, poiché la lunghezza di un giorno aumenta solamente di un secondo ogni 45000 anni. Per la determinazione del tempo per le attività quotidiane è sufficiente determinare l'orientazione della Terra per stabilire l'ora. L'osservazione delle stelle è scomoda poiché queste sono visibili solo di notte, sono poco luminose per produrre un'ombra e sono troppo numerose. Un sistema più pratico utilizzato fin da tempi remoti è l'osservazione della posizione del Sole, condizioni meteorologiche permettendo. Sfortunatamente però la posizione del Sole è determinata non solo dalla rotazione terrestre ma anche dalla rivoluzione di questa intorno ad esso.

Il diametro apparente del Sole visto dalla Terra è di circa mezzo grado, così il movimento in cielo è pari ad un suo raggio ogni minuto.

$\frac{24\ {\rm h}}{360^\circ} \times \frac{60\ {\rm min}}{1\ {\rm h}} \times \left(\frac{1}{4}\right)^\circ = 1\ {\rm min}$

Questo comporta che su una meridiana è molto difficile apprezzare frazioni di tempo inferiori al minuto, ma è possibile considerare un intervallo di tempo molto più lungo. Il secondo ha per definizione durata costante (tra il 1960 e il 1967 era definito come 1/31556925,9747 della durata dell'anno tropico 1900), così se contiamo il numero di secondi compresi tra due mezzogiorni consecutivi, scopriamo che alcuni giorni hanno meno di 86400 secondi, altri di più. Per esempio il giorno di Natale del 2000 era durato 86428 secondi.

[modifica] L'inclinazione dell'eclittica

Per prima cosa occorre considerare che la Terra non compie una rotazione in 24 ore ma in 23 ore, 56 minuti e 4 secondi circa. In un anno la Terra compie 366 rotazioni, ma il Sole sorge e tramonta 365 volte. Il giro in più comporta che il giorno siderale è più corto del giorno solare di 1/365.

$\frac{1\ {\rm day}}{366} \times \frac{24\ {\rm h}}{1\ {\rm day}} \times \frac{60\ {\rm min}}{1\ {\rm h}} = 3\ {\rm min}\ 56\ {\rm s}$

Inoltre questi 3 minuti e 56 secondi di differenza sono un valore medio nell'anno. Si supponga un osservatore posto al polo nord su una piattaforma che compia una rotazione ogni 23 ore, 56 minuti e 4 secondi per compensare la rotazione terrestre. L'osservatore vedrà le stelle immobili ed il Sole in moto lungo un cerchio. Il piano comprendente questo cerchio è l'eclittica, ed è inclinato di 23,44° rispetto al piano dell'equatore. Durante l'anno l'osservatore vede il sole muoversi dall'orizzonte (che è parallelo all'equatore) a salire fino all'altezza di 23,44°, quindi scendere sotto l'orizzonte fino a -23,44°. Supponendo che il Sole si muova a velocità costante (il che non è vero come vedremo dopo) sul cerchio celeste, l'ombra proiettata da un asse posto sul polo nord non si muove a velocità costante. Quando il Sole è in salita o discesa verso i 23,44°, deve muoversi di 1,09° perché l'ombra si muova di 1°.

$\frac{1^\circ}{\cos 23.44^\circ } = 1.0899^\circ\,$

Diversamente, a metà estate o inverno, il Sole è alto o basso nel cielo e per ogni grado di avanzamento l'ombra si muove di 1,09°. Il ciclo si ripete due volte in un anno ed è indipendente dalla latitudine dell'osservatore. In primavera ed autunno i 3 minuti e 56 secondi si riducono di un fattore 1,09 a 3 minuti e 37 secondi, mentre in estate ed inverno si ha un incremento a 4 minuti e 17 secondi. A causa dell'inclinazione dell'eclittica una meridiana perde o guadagna fino a 20,3 secondi al giorno, in funzione del periodo dell'anno. Se un giorno è accurato, dopo un mese e mezzo si ha un errore massimo di 9,8 minuti.

Se lo gnomone di una meridiana non è una linea ma un punto, l'ombra proiettata dal punto disegna una curva nell'arco della giornata. Se l'ombra è proiettata su un piano la curva è normalmente una iperbole, poiché il percorso circolare del Sole e il punto dello gnomone costituiscono un cono, ed un piano che interseca un cono forma una sezione conica. Agli equinozi il cono degenera in un piano e l'iperbole in un segmento. ogni giorno viene disegnata una iperbole diversa, e su ogni una devono essere indicati i segni corrispondenti alle ore con le necessarie correzioni. Sfortunatamente ogni iperbole corrisponde a due giorni distinti (uno per semestre) con due correzioni distinte.

Un compromesso frequentemente usato è di disegnare una curva corrispondente al tempo medio, quindi aggiungere una seconda curva che mostra il punto esatto dell'ombra a mezzogiorno per tutti i giorni dell'anno. Questa curva ha la forma di un otto, ed è chiamata analemma.

Confrontando l'analemma con la curva del tempo medio è possibile determinare con buona approssimazione la correzione da apportare al tempo indicato.

[modifica] L'eccentricità dell'orbita

Se si osserva la curva a otto dell'analemma, si può notare che il cappio comprendente autunno ed inverno è più ampio di quello comprendente primavera ed estate. Questo è dovuto al fatto che l'orbita terrestre non è circolare, e la velocità orbitale non è costante. Il 3-4 gennaio la Terra si trova al perielio, 1,67% più vicina al Sole rispetto alla distanza media e la sua velocità angolare è superiore del 3,37%. Questo fa si che in quella data il giorno sia di 7,9 secondi più lungo della media.

$\frac{3\ {\rm min}\ 56\ {\rm s}}{1\ {\rm day}} \times 0.0337 = 7.9\ {\rm s/day}$

Nel corso di tre mesi una meridiana accumula un errore di 7,6 minuti a causa dell'eccentricità orbitale e la forma dei cappi non è simmetrica. Il ciclo si completa in un anno (in realtà un po' di più a causa della precessione degli equinozi).

Il ritardo di 20,3 secondi al giorno causati dell'inclinazione dell'eclittica e i 7,9 dovuti all'eccentricità si sommano verso Natale dando i circa 30 secondi già citati.

Gli errori cumulativi di 9,8 e 7,6 minuti dovuti ai due effetti non si sommano esattamente e ne risulta un errore complessivo di meno di 17 minuti, secondo i valori e i periodi indicati in apertura dell'articolo.

[modifica] Matematica

L'equazione del tempo è la somma di due curve sinusoidali con periodi rispettivamente di un anno e sei mesi. L'equazione può essere approssimata in:

$E = 9.87 \sin (2B) - 7.53 \cos (B) - 1.5 \sin (B) \,$

dove

$B = 360^\circ (N - 81) / 364 \,$ se gli angoli sono espressi in gradi.

oppure

$B = 2\pi (N - 81) / 364 \,$ se gli angoli sono espressi in radianti.

Dove

N

è il numero del giorno, per esempio:

N = 1

per il 1 gennaio

N = 2

per il 2 gennaio

e così via.

Il grafico mostra l'equazione del tempo (in rosso) e le componenti dovute all'eccentricità (in blu) e all'inclinazione(in verde). Valori positivi indicano un errore in anticipo, valori negativi un errore in ritardo