Cardinalità del continuo

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In matematica la cardinalità del continuo è il numero cardinale dell'insieme dei numeri reali $\mathbf{R}$ (che, a volte, viene chiamato il continuo). Questo numero cardinale viene spesso indicato con il carattere $\mathfrak c$ ,

$\mathfrak c = |\mathbf R|$ .

Indice

1 Proprietà
- 1.1 Non numerabilità
- 1.2 Uguaglianze tra numeri cardinali
  - 1.2.1 Numeri beth
2 L'ipotesi del continuo
3 Insiemi con cardinalità
4 Bibliografia

[modifica] Proprietà

[modifica] Non numerabilità

Georg Cantor introdusse il concetto di cardinalità di un insieme per confrontare le dimensioni di insiemi infiniti. Egli dimostrò che l'insieme dei numeri reali è non numerabile, cioè che $\mathfrak c$ è maggiore della cardinalità dei numeri naturali, indicata con $\aleph_0$ (aleph-zero):

$\aleph_0 < \mathfrak c.$

In altre parole, esistono più numeri reali che numeri interi. Cantor dimostrò questa affermazione in diversi modi, si vedano le voci sulla prima dimostrazione di non numerabilità di Cantor e sull'argomento diagonale di Cantor.

[modifica] Uguaglianze tra numeri cardinali

Una variante dell'argomento diagonale di Cantor può essere usata per dimostrare il teorema di Cantor, che afferma che la cardinalità di ogni insieme è strettamente minore di quella del suo insieme delle parti, e cioè $| A | < 2 | A |$ . Si può concludere che l'insieme delle parti $\mathcal{P}(\mathbf{N})$ dell'insieme dei numeri naturali $\mathbf N$ è non numerabile. È dunque naturale chiedersi se la cardinalità di $\mathcal{P}(\mathbf{N})$ è uguale a $\mathfrak c$ . La risposta è affermativa. Si può dimostrare questa affermazione in due passi:

Si definisce una applicazione $f:\mathbf{R}\to\mathcal{P}(\mathbf{Q})$ dall'insieme dei numeri reali all'insieme delle parti dei numeri razionali che associa ad ogni numero reale $x$ l'insieme $\{q \in \mathbf{Q} | q \le x\}$ di tutti i razionali minori o uguali a $x$ (se si considerano i reali costruiti mediante sezioni di Dedekind, questa applicazione non è altro che l'inclusione nell'insieme degli insiemi di numeri razionali). Questa applicazione è iniettiva, perché i razionali sono densi nei reali. Dato che i razionali sono numerabili si ottiene che $\mathfrak c \le 2^{\aleph_0}$ .
Sia $\{0,2\}^\mathbf N$ l'insieme delle successioni che assumono valori nell'insieme ${0,2}$ . Questo insieme ha cardinalità $2^{\aleph_0}$ (l'applicazione biunivoca naturale tra l'insieme delle successioni binarie e $\mathcal{P}(\mathbf{N})$ è data dalla funzione caratteristica). Poi si associ ognuna di queste successioni $a i$ al numero reale appartenente all'intervallo unitario $[0,1]$ che abbia come parte decimale (espressa in base 3) la successione $a i$ . Questo significa che la $i$ -esima cifra dopo la virgola è data proprio da $a i$ . L'immagine di questa applicazione è l'insieme di Cantor. Inoltre questa applicazione è iniettiva, perché evitando i punti con la cifra 1 nella loro espansione decimale in base 3 si evita l'ambiguità dovuta al fatto che l'espansione decimale di un numero reale non è unica. Si ha dunque che $2^{\aleph_0} \le \mathfrak c$ .

Per il teorema di Cantor-Bernstein-Schroeder si conclude che

$\mathfrak c = |\mathcal{P}(\mathbb{N})| = 2^{\aleph_0}.$

[modifica] Numeri beth

La successione dei numeri beth è definita ponendo $\beth_0 = \aleph_0$ e $\beth_{k+1} = 2^{\beth_k}$ . Dunque $\mathfrak c$ è il secondo numero beth, beth-uno

$\mathfrak c = \beth_1.$

Il terzo numero beth, $\beth_2 = 2^\mathfrak c$ , è la cardinalità dell'insieme di tutti i sottoinsiemi dei numeri reali.

Utilizzando le regole dell'aritmetica dei numeri cardinali si può dimostrare che

$\mathfrak c = n \mathfrak c = \aleph_0 \mathfrak c = \mathfrak c^n = n^{\aleph_0} = {\aleph_0}^{\aleph_0} = \mathfrak c^{\aleph_0}$

dove $n$ è un qualunque cardinale finito maggiore o uguale a 2.

[modifica] L'ipotesi del continuo

La famosa ipotesi del continuo afferma che $\mathfrak c$ è anche il primo numero aleph, cioè $\aleph_1$ . In altre parole, l'ipotesi del continuo afferma che non esiste un insieme $A$ avente cardinalità strettamente compresa tra $\aleph_0$ e $\mathfrak c$ :

$\nexists A : \aleph_0 < |A| < \mathfrak c.$

Oggi si sa che l'ipotesi del continuo è indipendente dagli assiomi della teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel (ZFC). Questo significa che sia l'ipotesi del continuo sia la sua negazione sono consistenti con questi assiomi. In effetti, si ha che per ogni numero naturale $n$ diverso da zero, l'uguaglianza $\mathfrak {c} = \aleph_n$ è indipendente da ZFC (il caso $n = 1$ è l'ipotesi del continuo). L'affermazione è vera per molti altri aleph, anche se in alcuni casi si può dimostrare l'uguaglianza, grazie al teorema di König sulla base della cofinalità, per esempio $\mathfrak{c}\neq\aleph_\omega$ . In particolare, $\mathfrak{c}$ può essere uguale a $\aleph_1$ oppure a $\aleph_{\omega_1}$ , dove $ω 1$ rappresenta il primo numero ordinale non numerabile, e quindi $\mathfrak{c}$ può essere un cardinale successore o un cardinale limite, e un cardinale regolare oppure un cardinale singolare.

[modifica] Insiemi con cardinalità $\mathfrak c$

Molti insiemi studiati in matematica hanno cardinalità uguale a $\mathfrak c$ . Per esempio:

l'insieme dei numeri reali $\mathbf R$ ,
qualunque intervallo (non degenere) aperto o chiuso in $\mathbf R$ , come ad esempio l'intervallo unitario $[0,1]$ ,
l'insieme dei numeri irrazionali,
l'insieme dei numeri trascendenti,
lo spazio euclideo $\mathbf{R}^n$ ,
l'insieme dei numeri complessi $\mathbf C$ ,
l'insieme delle parti dei numeri naturali (l'insieme di tutti i sottoinsiemi dei numeri naturali),
l'insieme delle successioni di interi, spesso indicato con $\mathbf{Z}^\mathbf{N}$ ,
l'insieme delle successioni di numeri reali, $\mathbf{R}^\mathbf{N}$ ,
l'insieme di tutte le funzioni continue da $\mathbf R$ in $\mathbf R$ (mentre l'insieme di tutte le funzioni da $\mathbf R$ in $\mathbf R$ ha cardinalità $2^\mathfrak c$ ),
l'insieme di Cantor,
la topologia euclidea di $\mathbf{R}^n$ (cioè l'insieme di tutti gli insiemi aperti in $\mathbf{R}^n$ ).

[modifica] Bibliografia

Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Ristampato da Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.

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Categoria: Teoria degli insiemi

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[modifica] Uguaglianze tra numeri cardinali

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[modifica] Bibliografia

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