פונקציית רימן

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

ערך זה עוסק בפונקציית הסרגל (הנקראת גם פונקציית רימן). אם התכוונתם לפונקציית זטא של רימן, ראו פונקציית זטא של רימן.

פונקציית רימן בקטע (0,1)

פונקציית רימן (על שמו של המתמטיקאי הגרמני ברנרד רימן) (או פונקציית הסרגל) היא פונקציה ממשית המוגדרת על מספרים רציונליים לפי $\ f(\frac{p}{q}) = \frac{1}{q}$ (כאשר השבר מצומצם, כלומר p,q זרים זה לזה), ומתאפסת על מספרים שאינם רציונליים. (ב- $\,x=0$ ערך הפונקציה הוא 1, כמו בכל מספר שלם).

[עריכה] תכונות הפונקציה

פונקציה זו מוגדרת על כל הישר הממשי, והיא מתאפיינת בתכונות מעניינות:

פונקציה זו רציפה בכל נקודה אי-רציונלית, ואינה רציפה באף נקודה רציונלית על הישר, ומכאן ברור שאין קטע שבו היא רציפה.
אין קטע שהיא מונוטונית בו.
קבוצת נקודות אי-הרציפות של הפונקציה צפופה על הישר, אך בעלת מידה אפס.
בכל קטע סופי הפונקציה אינטגרבילית רימן (האינטגרל הוא כמובן אפס).

[עריכה] הערות

[עריכה] שם הפונקציה

שמות נוספים בהם מוכרת הפונקציה:

פונקציית הסרגל
פונקציית הפופקורן
פונקציית תומה (Thomae's function)

[עריכה] פונקציה המקיימת תכונות דומות

נסדר את המספרים הרציונליים על הישר בסדרה $\{r_n\}_{n=1}^\infty$ , ונגדיר פונקציה $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ על ידי הנוסחה $g(x)=\sum_{\{n|r_n<x\}}\frac{1}{2^n}$ . הפונקציה המתקבלת רציפה גם היא בכל נקודה אי-רציונלית, ואינה רציפה בכל נקודה רציונלית. בנוסף, זוהי פונקציית מונוטונית עולה על הישר.

[עריכה] קבוצת נקודות הרציפות של פונקציה

לא קיימת פונקציה הרציפה בכל נקודה רציונלית, ואינה רציפה בכל נקודה אי-רציונלית, משום שקבוצת נקודות הרציפות של פונקציה היא קבוצת $\ G_\delta$ , ואילו קבוצת המספרים הרציונליים על הישר אינה קבוצת $\ G_\delta$ .

[עריכה] הוכחה

נוכיח כי הפונקציה רציפה בכל נקודה אי-רציונלית, ואינה רציפה באף נקודה רציונלית על הישר.

יהי $x_0=\frac{p}{q}\in\mathbb{Q}$ , כאשר $\,p,q$ שלמים זרים ו- $\,q>0$ . מכאן ש- $f(x_0)=\frac{1}{q}$ . נראה כי $\,f$ אינה רציפה ב- $\,x_0$ . קבוצת המספרים האי-רציונליים צפופה בישר הממשי, לכן יש סדרה $\{x_n\}_{n=1}^\infty$ של מספרים אי-רציונליים המקיימת $x_n\to x_0$ . לכל $\,n$ מתקיים $\,f(x_n)=0$ , ומכאן $\lim_{n\to\infty} f(x_n)=0\ne f(x_0)=\frac{1}{q}$ , ולכן לפי הגדרת הרציפות לפי היינה, הפונקציה אינה רציפה ב- $\,x_0$ .

כעת נניח ש- $\,x_0$ מספר אי-רציונלי; נראה שהפונקציה רציפה ב- $\,x_0$ . נשתמש בהגדרת הרציפות לפי קושי. יהי $\varepsilon>0$ . יש למצוא $\,\delta>0$ כך שאם $x\in(x_0-\delta,x_0+\delta)$ אזי $|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$ . קיים $\,N$ שלם כך ש- $0 < \frac{1}{N} < \varepsilon$ . נסמן $\ M=N!$ (פונקציית העצרת). מכיוון ש- $\,x_0$ אינו רציונלי, קיים $\ \delta>0$ כך שהמרחק מ- $\,x_0$ לכל שבר מהצורה $\ \frac{k}{M}$ עם $\,k$ שלם, גדול מ- $\ \delta$ . יהי $\,x\in\mathbb{R}$ המקיים $\,|x-x_0|<\delta$ . ייתכנו שתי אפשרויות:

$\,x\notin\mathbb{Q}$ ואז $\,f(x)=0$ , ומכאן $|f(x)-f(x_0)|=0<\varepsilon$ .
$\ x=r=\frac{p}{q}$ הוא שבר מצומצם שמרחקו מ- $\,x_0$ קטן מ- $\ \delta$ , אז $\,q$ לא יכול לחלק את $\,M$ , ולכן $\ q>N$ ו- $\ f(r)=\frac{1}{q}<\frac{1}{N}<\varepsilon$ , כלומר, אם $\,|r-x_0|<\delta$ אזי $|f(r)-f(x_0)|<\varepsilon$ , כדרוש.