משפט הקטגוריה של בייר

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

משפט הקטגוריה של בייר (Baire) הוא משפט שימושי מאוד באנליזה פונקציונלית ובטופולוגיה קבוצתית. בעזרת המשפט אפשר להוכיח את קיומן של נקודות מסוימות במרחב מטרי שלם. נקודות אלו יכולות להיות למשל פונקציות בעלות תכונות מיוחדות.

[עריכה] ניסוח המשפט

יהי מרחב מטרי שלם. אזי הפנים של כל קבוצה מקטגוריה ראשונה ב- הוא ריק.

כאשר קבוצה מקטגוריה ראשונה היא קבוצה הניתנת להצגה כאיחוד בן מנייה של קבוצות דלילות. קבוצה דלילה היא קבוצה שהפנים של הסגור שלה הוא ריק.

באופן כללי, איחוד אינסופי של קבוצות דלילות הוא לאו דווקא דליל ואף להיפך. כך לדוגמה, המספרים הרציונליים ניתנים להצגה כאיחוד בן מנייה של יחידונים וכל אחד מהם בנפרד הוא קבוצה דלילה. לפי משפט בייר, הפנים של הרציונליים, שהם קבוצה מהקטגוריה הראשונה, הוא ריק, עובדה שקל לוודא באופן ישיר. אך קבוצת הרציונליים אינה דלילה, אלא דווקא צפופה בישר הממשי, ולכן פנים של הסגור שלה אינו ריק - הוא כל הישר.

[עריכה] מסקנות מן המשפט

מן המשפט נובעות מסקנות רבות. לדוגמה:

• במרחב הפונקציות הרציפות עם מטריקת המקסימום, אוסף הפונקציות הגזירות בנקודה אחת לפחות הוא קבוצה מקטגוריה ראשונה. מכאן, "רוב" הפונקציות הרציפות אינן גזירות אפילו בנקודה אחת. יש לשים לב שהמשפט אינו קונסטרוקטיבי, דהיינו, הוא אינו מראה כיצד בונים פונקציה כזו. דוגמה לפונקציה רציפה שאינה גזירה באף נקודה ניתנה על ידי ויירשטראס בשנת 1872.
• עקרון החסימות במידה שווה.
• קבוצת הנקודות הרציונליות על הישר הממשי אינה קבוצת (קבוצה הניתנת להצגה כחיתוך בן מנייה של קבוצות פתוחות).