מערכת לא לינארית
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
מערכת לא לינארית היא מבנה אשר לא ניתן להגדיר את צורתו ו/או התנהגותו כסכום או מכפלה של רכיביו. בפרט, מערכת לא לינארית אינה כפופה לעקרונות הסופרפוזיציה כמופיעות במערכות לינאריות לרבות, אי קיום קשר חד-חד ערכי.
בשונה ממערכות לינאריות, הניתנות לביצוע חישובי קירוב והערכות, במערכות לא לינאריות לא ניתן לבצע חישובים אילו ואף קשה עד בלתי אפשרי ליצור מודל התנהגותי של המערכת. דבר זה מקשה על ביצוע חישובי תחזיות. אחת הדרכים להגיע להצגת תבנית של מערכת לא לינארית היא לקרב המערכת לתבנית של מערכת לינארית.
ישנן מספר מערכות לא לינאריות הניתנות לפתרון או שניתן באמצעותן לבצע פעולות אינטגרציה, בעוד שאחרות מאופיינות באי-סדר מוחלט ועל-כן אין להן פתרון או אפילו אומדן קירוב. תחום חקר משוואות לא לינאריות עדיין אינו מובן בשלמותו, אולם, יישום של מערכות אלה נמצאו במגוון תופעות פיזיקליות הכוללות את תורת הכאוס ובתופעה הנקראת גלים חריגים אשר דוגמאות לכך ניתן למצוא בין היתר בגלי הים.
תוכן עניינים |
[עריכה] רקע
[עריכה] מערכות לא לינאריות באלקטרוניקה
באלקטרוניקה, מערכת לא לינארית מתארת מודל, שבה נמצא רכיב או מספר רכיבים המאופיינים בהתנהגות לא לינארית. קרי, מערכת אשר לא ניתן לחזות את צורת האות, היוצא מן המערכת.
לדוגמה: נתאר מערכת אלקטרונית הכוללת וולטמטר, המחובר במקביל למחשב המראה את גרף המתח כפונקציה של הזמן, ולמעגל החשמלי, הכולל רכיב לא לינארי (כגון: קבל). נעביר במעגל מתח v מסוים בצורה לינארית (קבועה) לאורך זמן קצוב t וניווכח כי הגרף, שיראה המחשב, מתאר גרף לא לינארי.
הערה: במקרה זה הגרף יתאר פונקציה מעריכית (אקספוננציאלית) אולם, קיימות מערכות מסובכות יותר, שצורת הגרף אינה קבועה או מתארת חוקיות כלשהי.
[עריכה] מערכות לא לינאריות במתמטיקה
במתמטיקה מערכת לא לינארית באה לידי ביטוי כמשוואה או כאוסף של משוואות לא לינאריות.
[עריכה] תיאור מערכות לא לינאריות
מערכות ומשוואות לא לינאריות הן תחום מחקר שכיח בקרב קהילת המתמטיקאים והפיזיקאים בניסיון ללמוד על תופעות פיזיקאליות אשר מטבען הן לא לינאריות. שכיחות הנושא נובע מריבוי הימצאותן של תופעות אקראיות לא לינאריות בטבע לעומת התופעות הלינאריות.
ניתן לתאר את המשוואה הלא לינארית בצורה: F(u) = 0 עבור משתנה כלשהו u.
על מנת לפתור כל משוואה, נדרש להחליט על מרחב פתרון, ש-u יימצא בו. u עשוי להיות מספר ממשי, וקטור או אפילו פונקציה.
בעוד שהפתרון של משוואה לינארית ייתן למעשה סופרפוזיציה או פתרון נוסף של אותה משוואה, פתרון של משוואה לא לינארית עשוי להיות מסובך יותר ויכול להפיע אף בצורה של משוואה לא לינארית חדשה.
[עריכה] משוואות לא לינאריות מפורשות
ישנן כמה מערכות לא לינאריות המובנות היטב, לדוגמה:
- x2 − 1 = 0
ועוד כמה מערכות פולינום. אולם, מערכות לא לינאריות פולינומיות מדרגה גבוהה יותר הן יותר מסובכות. באותו אופן, ניתן לתאר מערכות לא לינאריות דיפרנציאליות כגון:
- dxu = u2
הניתנת לפתרון על ידי שיטת "הפרדת המקדמים" ואילו משוואות אילו מסדר גבוה יותר כגון:
, כאשר g היא פונקציה לא לינארית,
עשויות להוות אתגר לא מבוטל. כמו כן, עבור מערכת משוואות דיפרנציאליות חלקיות התמונה עשויה להסתבך על אף, שניתן להוכיח את מספר הפתרונות האפשריים.
המשוואה הדיפרנציאלית של מטוטלת מתמטית ניתנת לתיאור על ידי משוואה לא לינארית:
בעקרון, המשוואה הופכת ללינארית בהינתן θ מספיק קטן (קרי, sinθ ~= θ) כך ש:
פתרון המשוואה עבור ערכים גדולים יותר של θ או תנועה לא רציונלית של המטוטלת נעשית באמצעות "פירוק לשלבים".
[עריכה] כלים לפתרון מערכות לא לינאריות
כיום, ישנן מספר דרכים לפתור מערכות לא לינאריות:
- משפט הפונקציות הסתומות - מתן אפשרות לחלץ ממשוואה בכמה משתנים חלק מהמשתנים, כפונקציה של האחרים. כלומר, המשפט מראה באלו תנאים משוואה מציגה פונקציה באופן סתום, ומהן התכונות של אותה פונקציה.
- תורת ההסתעפויות - בוחנת כיצד שינוי קל במערכת גורם להשפעה בטווח הארוך בדינמיקה של המערכת.
- תורת ההפרעות - שיטה מתמטית לפתרון מקורב של בעיות, אשר באמצעותה ניתן גם למצוא קירוב לפתרון משוואות דיפרנציאליות לא לינאריות.
