מטוטלת מתמטית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

מטוטלת מתמטית (נקראת גם מטוטלת פשוטה) היא מטוטלת שמורכבת מגוף בעל ממדים קטנים, התלוי על חוט שמסתו ומידת ההתארכות שלו בזמן התנודות ניתנים להזנחה. בנוסף, זווית התנודה של המטוטלת קטנה יחסית. זהו מודל פיזיקלי, שאינו קיים באופן מושלם במציאות, אך בזכות הקירוב ניתן לתאר את תנועת הגוף באופן פשוט. תחת קירוב זה מטוטלת מתמטית היא סוג של אוסצילטור הרמוני, ולכן מהווה מודל לתופעת פיזיקליות רבות.

לאחר הסטת הגוף מנקודת שיווי המשקל ושיחרורו, הגוף יבצע תנודות הרמוניות במישור אנכי סביב נקודת שיווי המשקל-לאורך קשת מעגל. זמן המחזור של תנודות מטוטלת מתמטית אינו תלוי במסת המשקולת ובמשרעת (זווית) התנודות. זוהי תכונה חשובה, שכן היא מאפשרת למדוד מרווחי זמן. בעבר (עד המצאת השעון החשמלי) השתמשו בני האדם בשעון המונע על ידי מטוטלת.

[עריכה] ניתוח מתמטי

אנימציה של תנועת מטוטלת, המראה את השתנות וקטורי המהירות (v) והתאוצה (a).

ניתוח הכוחות על מטוטלת מתמטית

ננתח את תנועת המטוטלת, בקירוב בו החוט חסר מסה ואורכו קבוע, מסת המטוטלת נקודתית, וזווית התנודה קטנה. נסמן:

$\ l$ - אורך החוט
$\ m$ - מסת המשקולת
$\ g$ - תאוצת הכובד
$\ \theta$ - הזווית מהאנך.

ננתח את המומנטים הפועלים על המטוטלת, יחסית לנקודת התלייה. מכיוון שהחוט מחובר לנקודת התלייה, הוא אינו מפעיל מומנט. לכן, המומנט היחיד הפועל על המטוטלת הוא המומנט שמפעיל כוח הכובד, וגודלו $\ -mgl \sin \theta$ . (הסימן שלילי כיוון שזהו כוח מחזיר, המנוגד לכיוון ההעתק).

מומנט ההתמד של המערכת הוא פשוט $I = m l 2$ , ולכן מתקיים

$\ -mgl \sin \theta = ml^2 \ddot \theta$ .

בקירוב הזוויות הקטנות, $\ \sin \theta \approx \theta$ , נקבל משוואה של אוסצילטור הרמוני:

$\ \ddot \theta = - \frac{g}{l} \theta$

הפתרון הכללי של משוואה זו הוא:

$\ \theta = \theta_0 \sin (\omega t + \phi)$ ,

כאשר $\omega = \sqrt {\frac{g}{l}}$ , ו $\ \theta_0 , \phi$ נקבעים על ידי תנאי ההתחלה . זוהי פונקציה מחזורית, בתדירות $f= \frac{1}{2\pi} \sqrt{ \frac{g}{l}}$ , ובזמן מחזור $\ T=2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g}}$ .

המרחק מנקודת שיווי המשקל הוא $\ x= l \theta$ (שוב, בקירוב של זוויות קטנות), ולכן גם המרחק מקיים תנודה הרמונית: $\ x = x_0 \sin (\omega t + \phi)$ .

באופן כללי, ניתן לפתור את המשוואה פתרון אנליטי גם ללא הקירוב של זוויות קטנות, בעזרת אינטגרל אליפטי.

[עריכה] פתרון מדויק

הסטייה של זמן המחזור בקירוב הזוויות הקטנות מזמן המחזור המדויק. ניתן לראות כי עד לזווית מפתח של 30°, מתקבל דיוק טוב מאוד - פחות מ 2%.

כאמור, ניתן למצוא את זמן המחזור של מטוטלת פשוטה גם ללא ההנחה של זוויות קטנות. יש להדגיש כי פתרון זה אינו אנליטי (כלומר, לא ניתן להציגו כהרכבה של פונקציות אלמנטריות: פולינומים, אקספוננטים ופונקציות טריגונומטריות). הפתרון מערב אינטגרל אליפטי, שאותו יש לחשב באופן נומרי.

משימור אנרגיה מתקבל מיידית כי $\ v=\sqrt{2g\Delta h}$ . כאשר $\ \Delta h$ הוא ההפרש בין גובה המטוטלת לגובהה התחלתי. אנו יודעים כי $v=l\frac{d\theta}{dt}$ ולכן

$\frac{d\theta}{dt}=\frac{\sqrt{2g\Delta h}}{l}$ .

מצד שני, משיקול גאומטרי ניתן לראות ש $\ \Delta h=l(\cos\theta-\cos\theta_0)$ , כאשר $\ \theta_0$ היא הזווית שבה הייתה המטוטלת בגובהה התחלתי. מתקבלת המשוואה הדיפרנציאלית