Matematikai inga

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.

Az inga egy tömegközéppontján kívüli pontban felfüggesztett test, mely a gravitáció hatására a függőleges síkban lengéseket végez. A matematikai inga olyan idealizált inga, mely súlytalan fonálból és rá erősített tömegpontból áll. A valóságos (fizikai) ingákat a matematikai inga csak jó közelítéssel modellezi.

A matematikai inga mozgásegyenlete a tömegpontra ható erők összege:

$ml^2\frac{d^2\theta}{dt^2}+\gamma\frac{d\theta}{dt}+mgl\sin\theta=A \cos\omega_Dt$

Ahol:

l – a fonál hossza,
g – nehézségi gyorsulás,
m – a test tömege,
$θ$ – A fonál függőlegessel bezárt szöge
A – a gerjesztőerő amplitúdója
$ω D$ – a gerjesztőerő körfrekvenciája
$γ$ – közegellenállásból eredő csillapítási együttható

A fenti egyenlet nemlineáris csillapított lengés, vagyis nem harmonikus lengés differenciálegyenlete. Ezt az egyenletet analítikusan nem lehet megoldani akkor sem, ha A=0.

Kis kitérések esetén a szinusz függvényt közelíteni lehet magával a szöggel:

$\sin \theta \approx \theta$

A fenti közelítést alkalmazva, elhanyagolva a csillapítást és a gerjesztést az egyenlet így írható:

$\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac g l \theta=0$

Ez az egyenlet egy egyszabadságfokú csillapítatlan, szabadlengéseket végző lengőrendszer egyenlete, amelynek a megoldása:

$\theta = \theta_0 cos(\omega t) + \dot\theta_0 sin(\omega t)$

ahol $\theta_0\,$ a kezdeti kitérés, $\dot\theta_0$ a kezdeti szögsebesség, $\omega\,$ pedig a körfrekvencia:

$\omega=\frac{2\pi}{T}=\sqrt{\frac{g}{l}}$

A lengés periódusa pedig:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

Az inga mozgásának közelítő megoldásából látszik, hogy kis kitérési szögek esetén a lengések frekvenciája nem függ az inga tömegétől és a lengések amplitúdójától, hanem csak az inga hosszától és a nehézségi gyorsulástól. A közelítés megfelelő, ha a kilengések 8 foknál kisebbek.

Ha a kitérés nagyobb, de nincs sem gerjesztés, sem csillapítás, akkor a lengésidő az alábbi képlettel fejezhető ki:

$T = 4\sqrt{l \over g}E\left({\sin\theta_0\over 2}, {\pi \over 2} \right)$