כמת

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

ערך זה זקוק לעריכה, על מנת שיתאים לסגנון המקובל בוויקיפדיה.
הסיבה שניתנה לכך היא: פשטנות וחוסר דיוק. אם אתם סבורים כי אין בדף בעיה, ניתן לציין זאת בדף השיחה שלו.

בלוגיקה, כמת הוא סמל המבטא כמות של עצמים בהקשר מסוים.

[עריכה] רקע

המתמטיקה מטפלת בפסוקיה באמצעות מערכות הכוללות אקסיומות לצד כללי היקש, ובעזרת הפעלת כללי ההיקש על האקסיומות, ניתן להסיק פסוקים נוספים. מערכת שכזו היא תחשיב הפסוקים המחקה את שפתו הראשונית של האדם, שקר ואמת. בתחשיב הפסוקים עושים שימוש בנוסחאות ובקשרים לוגיים כדי לייצג פסוק.

שפה זו מוגבלת מטבעה, מאידך שפות מודרניות מסובכות מדי ולעתים אינן חד-משמעיות. כך למשל, המשפט "כל מספר הגדול מ-5, גדול מ-4" נוח למדי, אך המשפט "נגזרת של מכפלת פונקציות היא הסכום של מכפלת הנגזרת של הפונקציה האחת בפונקציה השנייה (המקורית), יחד עם מכפלת הפונקציה הראשונה (המקורית) בנגזרת הפונקציה השנייה". זהו משפט אמיתי בחדו"א, אבל מבנה המשפט מסובך מדי. לשם כך הומצאו הסימנים המוכרים +,-,*,/ וכו'. כמו כן, על מנת לייעל את השפה המתמטית עוד יותר הומצא השימוש במשתנים. כעת, לכאורה (תיכף נפריך עניין זה), ניתן לכתוב את שני המשפטים הנ"ל, בהתאמה:

$x>5 \rightarrow x>4$

$\ (f(x)g(x))' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$

אולם, כעת מתעוררת בעיה נוספת. הביטוי $x = 5$ מדגים בעיה זו. שני הביטויים העליונים מייצגים משפטים, לפיכך אם נחליף את ה-x ב-4, 3, 1/2, פאי וכל מספר אחר, הביטוי ישאר פסוק אמת. לעומת זאת, זהו אינו נכון עבור הביטוי $x = 5$ . פה מדובר על כך שקיים מספר המקיים משוואה זאת. אם כן, חוסר הבהירות יוצר בלבול ומפר את חד המשמעויות.

על מנת לטפל בבעיה זו פותחו הכמתים:

$\forall$ הכמת הכולל - כמת זה מבטא את הרעיון ששם המשתנה המופיע לצד הכמת - את הופעותיו בתחום אחרי הכמת, ניתן להחליף בכל ביטוי (בדרך כלל מספר) והפסוק עדיין ישאר פסוק אמת. בהופעתו בנוסחה, $\forall$ מבוטא "לכל".

$\exist$ כמת הקיום - מבטא שיש לפחות ביטוי אחד אשר אותו ניתן להציב, מבלי לשנות את ערך האמת של הפסוק. בהופעתו בנוסחה, $\exist$ מבוטא "קיים".

[עריכה] טיפול בכמתים

בכמתים, כמו בשאר סמלים פורמליים, מטפלים בצורה מכנית, תוך התחשבות רק בצורה ולא במשמעות. ראשית, נגדיר את תחום הקשירה של המשתנה כתחום לאחר הכמת ושם המשתנה המוקף בסוגריים. במקרים בהם הורדת הסוגריים אינה משנה את משמעות הביטוי, ניתן להורידם.

כלל ההצבה - כשמחליפים את המשתנה בביטוי כגון מספר או תו, הכמת עצמו נעלם. כך למשל: נציב 5 בביטוי $\exist x. x = 5$ , אז לפי כלל ההצבה נקבל: $\ 5=5$ .

כלל $α$ מאפשר לנו לשנות את שם המשתנה בשם אחר, ובתנאי שהשם החדש לא מופיע בתחום הקשירה של הכמת. דוגמה: בביטוי $\forall x. x>y \rightarrow y<=x$ ניתן להחליף את ה-x, במשתנה בשם z (למשל), אך לא ניתן לעשות זאת עם משתנה בשם y, מאחר ו-y מופיע כבר בתחום הקשירה של הכמת.

[עריכה] קיים ויחיד

לציון של קיום וגם יחידות, כלומר שקיים ערך יחיד המקיים את הפסוק, משמש הסימן $\ \exists !$ . לדוגמה, במערכת פאנו, הפסוק "קיים מספר יחיד שקטן מ-2" ייכתב כך: $\ \exists x ( (x<2) \and \forall y ((y<2)\implies (y=x)))$ , או בקיצור $\ \exists ! x : (x<2)$ .