חבורה נילפוטנטית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

בתורת החבורות, חבורה נילפוטנטית היא חבורה שבה כל הקומוטטורים ממשקל קבוע כלשהו הם טריוויאליים, כלומר, חבורה שבה מתקיימת הזהות $\ [a_1,a_2,\dots,a_k]=1$ עבור k כלשהו. לדוגמה, כל חבורה אבלית היא נילפוטנטית, ובמובנים רבים, חבורות נילפוטנטיות הן "כמעט" אבליות.

כל החבורות הנילפוטנטיות הן פתירות. החבורה הקטנה ביותר שאינה נילפוטנטית היא החבורה הסימטרית $\ S_3$ , חבורה פתירה בת ששה אברים.

בין החבורות הסופיות, החבורות הנילפוטנטיות הן אלו השוות למכפלה ישרה פנימית של חבורות סילו השונות. בפרט, חבורות p (כדוגמת החבורה הדיהדרלית מסדר 8 או חבורת הקווטרניונים) הן נילפוטנטיות. כל תת חבורה וכל חבורת מנה של חבורה נילפוטנטית, גם הן נילפוטנטיות.

[עריכה] הגדרה

בכל חבורה G, אפשר להגדיר את הסדרה המרכזית היורדת על-פי הכלל $\ G_{k+1}=[G,G_k]$ , כאשר $\ G_1=G$ ; כלומר, $\ G_{k+1}$ היא תת-החבורה של G, הנוצרת על ידי הקומוטטורים $\ [a_1,a_2,\dots,a_k]$ . על-פי כתיב זה, חבורה אבלית היא כזו שבה $\ G_2=1$ . כהכללה של אותו רעיון, חבורה נילפוטנטית ממחלקה k היא חבורה שבה $\ G_{k+1}=1$ .

לדוגמה, חבורה נילפוטנטית ממחלקה 1 אינה אלא חבורה אבלית, בעוד שחבורה נילפוטנטית ממחלקה 3 היא כזו שבה $\ [a_1,[a_2,[a_3,a_4]]]=1$ לכל ארבעה איברים $\ a_1,\dots,a_4$ . תכונות יסוד של קומוטטורים מראות שבחבורה כזו מתקיים גם $\ [[a_1,a_2],[a_3,a_4]]=1$ . באופן כללי יותר, אם כל הקומוטטורים מן הצורה $\ [a_1,a_2,\dots,a_k]$ שווים לאיבר הנייטרלי, אז כל הקומוטטורים מאותו משקל (אלו המתקבלים מחישוב קומוטטור k פעמים, בסדר כלשהו), שווים לאיבר הנייטרלי.

כאשר G נילפוטנטית ממחלקה k, אפשר להציג אותה כהרחבה $\ 1 \rightarrow G_{k}\rightarrow G \rightarrow G/G_k \rightarrow 1$ , שבה המנה $\ G/G_k$ נילפוטנטית ממחלקה k-1, ותת-החבורה $\ G_k$ מוכלת במרכז (שהרי $\ [G,G_k]=G_{k+1}=1$ ). הרחבה שבה הגרעין מרכזי קרויה הרחבה מרכזית: בעוד שהרחבה של חבורה פתירה בחבורה פתירה נותנת חבורה פתירה, ההרחבה של חבורה נילפוטנטית בחבורה נילפוטנטית אינה בהכרח נילפוטנטית - אלא אם ההרחבה מרכזית.

מחלקת החבורות הנילפוטנטיות היא האוסף הקטן ביותר של חבורות, הכולל את החבורה הציקלית האינסופית, וסגור תחת הפעולות של מעבר לתת-חבורה או לחבורת מנה, ותחת הרחבות מרכזיות.

[עריכה] זהויות אנגל

אם G חבורה ו- x איבר שלה, אפשר להגדיר פונקציה $\ f:G \rightarrow G$ על-פי הנוסחה $\ f(y)=[x,y]=xyx^{-1}y^{-1}$ . הפעלה חוזרת של הפונקציה תחזיר קומוטטורים ממשקל גבוה יותר: $\ f^{n}(y)=[x,x,\dots,x,y]$ . על-פי ההגדרה, בחבורה נילפוטנטית ממחלקה k, כל פונקציה מסוג זה מוכרחה 'להתאפס': $\ f^k(y)=1$ (מכאן השם Nil-potent). הזהות $\ [x,x,\dots,x,y]=1$ נקראת זהות אנגל.

משפט ידוע של מקס צורן קובע שגם ההיפך נכון: אם קיים k שעבורו $\ [x,x,\dots,x,y]=1$ לכל x ו- y (כאשר x מופיע בביטוי k פעמים), אז כל קומוטטור ממשקל גדול מספיק יהה מוכרח להתאפס (אפילו אם מופיעים בו איברים שונים); במלים אחרות, החבורה נילפוטנטית. ממשפט זה נובעת תוצאה חשובה: חבורה היא נילפוטנטית אם ורק אם כל תת-חבורה שלה, הנוצרת על ידי שני אברים, היא נילפוטנטית.

[עריכה] ראו גם

חבורה פתירה
קומוטטור
אלגברת לי נילפוטנטית

קטגוריה: תורת החבורות

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

חבורה נילפוטנטית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

[עריכה] הגדרה

[עריכה] זהויות אנגל

[עריכה] ראו גם

Views

ניווט

קהילה

חיפוש

שפות אחרות