חבורה פתירה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

אחד הרעיונות המרכזיים בתורת החבורות הוא הפירוק של חבורה לגורמי הרכב, באמצעות סדרת הרכב (ומשפט ז'ורדן-הולדר); אפשר ללמוד הרבה על חבורה מתוך גורמי ההרכב שלה. חבורה שגורמי ההרכב שלה אבליים, נקראת חבורה פתירה.

מקורו של השם בתורת גלואה: אפשר לפתור משוואה פולינומית באמצעות ארבע פעולות החשבון והוצאות שורש, אם ורק אם חבורת גלואה של הפולינום היא חבורה פתירה.

[עריכה] תכונות

כל תת-חבורה וכל חבורת-מנה של חבורה פתירה, הן פתירות. לחבורה שאינה פתירה יש גורם הרכב שהוא חבורה פשוטה לא אבלית.

דוגמאות לחבורות פתירות:

כל חבורה אבלית היא חבורה נילפוטנטית, וכל חבורה נילפוטנטית היא פתירה.
כל חבורת- $\ p$ סופית (עבור $\ p$ ראשוני) הינה פתירה.

התכונות הבאות משמשות הגדרות שקולות לכך שהחבורה G פתירה:

$\ G$ ציקלית, או שיש לה תת חבורה נורמלית לא טריוויאלית $\ N$ , כך ש- $\ N$ ו- $\ G/N$ שתיהן פתירות.
G ציקלית או שיש לה סדרה נורמלית (לא טריוויאלית) שהגורמים שלה הם חבורות פתירות.
יש ל- $\ G$ סדרה נורמלית שהגורמים שלה הם חבורות אבליות.
קיים $\ n$ טבעי כך ש- $\ G^{(n)}=1$ (כאשר $\ G^{(n)}$ תת חבורת הנגזרת מסדר $\ n$ .)
ל- $\ G$ סופית יש סידרת הרכב שגורמיה חבורות ציקליות.