منطق ریاضی
از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد.
 |
این مقاله نیازمند ویکی‌سازی است. لطفاً با توجه به راهنمای ویرایش و شیوه‌نامه آن را تغییر دهید. در پایان، پس از ویکی‌سازی این الگوی پیامی را بردارید. |
منطق ریاضی شاخه‌ای از ریاضیات است که به بیان ریاضی‌گونه منطق می‌پردازد. گاه به آن «منطق علامتی» یا «منطق نمادی» هم می‌گفتند که دیگر رایج نیست. این نام را جوزپه پئانو ریاضیدان ایتالیائی بر این رشته گذاشت[نیازمند منبع]. قبلا لایب نیتز و لامبرت کوشش‌هائی برای بیان ریاضی مفاهیم منطق کرده‌بودند اما در اواخر قرن نوزدهم با کارهای آگوستوس دی‌مورگان، جرج بول، گوتلوپ فرگه، برتراند راسل، داوید هیلبرت، و دیگران به صورت فعلی شکل گرفت. منطق امروز در ریاضیات شکل کامل تری از منطق در فلسفه است که اساس خود را با نظریهٔ مجموعه‌ها به اشتراک دارد.
فهرست مندرجات |
[ویرایش] انگیزه و اهداف
تحقیقات علمی درباره ی منطق ریاضی در پی بروز پرسش‌های نوین در بنیان‌های ریاضیات پدید آمد. به عنوان نمونه، فرگه می‌کوشید تا ریاضیات را بر پایه ی اصول برآمده از منطق و نظریهٔ مجموعه‌ها قرار دهد، راسل در حذف تناقضات ناشی از دستگاه منطق فرگه تلاش کرد، و هدف هیلبرت نشان‌دادن این امر بود که "روش‌های مورد قبول عام در ریاضیات هرگاه که به‌طور همه‌جانبه، کلی‌نگرانه، و به‌عنوان یک کل واحد در نظر گرفته شود، به هیچ نوع تناقضی منجر نخواهد شد" (این موضوع به برنامه هیلبرت شهرت یافته است.)
[ویرایش] روش‌ها و پایه ها
به طور کلی منطقی که امروزه رواج دارد، منطقی بر پایه های منطق ارسطویی و دو ارزشی است که به مرور تکامل یافته است. از پایه های این منطق قانون طرد شق وسط می باشد. این قانون از مشخصات منطق دو ارزشی است و بیان می کند که گزاره ی ما هر چه باشد یا درست است یا نادرست و به بیانی دیگر یا گزاره ی ما درست است یا نقیض آن درست است. این اصل تا به امروز اساس حل بسیاری از مسائل به ویژه حل به روش برهان خلف بوده است اما با این وجود، بحث ها و جنجال های بسیاری در رابطه با ناکافی بودن این منطق وجود دارد. به عقیده ی بعضی از منطق شناسان و ریاضیدانان مکتب شهودی همچون براوئر،هیتینگ و بیشاپ نتیجه گرفتن وجود یک چیز تنها به این دلیل که وجود نداشتن آن ممکن نیست کافی نیست. در سال های اخیر پژوهش هایی در زمینه ی منطق چند ارزشی توسط افرادی چون لوکاسیویچ، پست(شخص)وتارسکی انجام شده است اما هنوز به عنوان یک منطق قابل قبول ویا جایگزین در نیامده است.
[ویرایش] تعریف در منطق
با آن که با استفاده از منطق می توان بسیاری از چیزها را تعریف کرد و بسیاری از تعاریف را اثبات کرد اما تمامی اساس منطق بدون تعریف و زیر سئوال است، شاید دلیلش این باشد که منطق بر اساس فکر آدمی بناشده و ما انسان ها درباره ی پدیده های غیر از فکر خود می توانیم تفکر کنیم زیرا که تکفر کردن درباره تفکر کردن بی معنا و مفهوم است و ما را وارد دور می کند که باطل است. البته بررسی ذهن به عنوان یک دستگاه منطقی ما را قادر می سازد تا بتوانیم منشا منطق که همانا ذهن آدمی است را بیشتر کشف کنیم.
بهرحال در ادامه هر آنچه بیشتر به منطق وارد شوید بیشتر وجود این مسئله را درک می کنید.
[ویرایش] نقض گزاره ها
نمی توان آن را تعریف کرد، زیر اگر بخواهیم آن را تعریف کنیم باز نیاز به استفاده از خودش برای تعریف خودش داریم. به چند تعریف زیر توجه کنید :
1 - نقیض یک گزاره ، گزاره ای است که دارای ویژگی های آن گزاره نباشد.
2 - نقیض یک گزاره یعنی اگر گزاره ای درست باشد آنگاه نقیض آن نادرست است.
3 - نقیض یک گزاره یعنی مکمل حالت هایی که آن گزاره شامل نیست.
و تعاریفی مانند این ها ...
تعاریف بالا گرچه مفهوم را می رسانند و منظور از آوردن آن ها القاء مفهوم نقیض بوده است اما غلط هستند چون در آنها به نوعی از خود مفهوم نقیض استفاده شده است.
برای مثال در جمله ی اول، عبارت دارای ویژگی های آن گزاره نباشد. خود نقیض عبارت دارای ویژگی های آن گزاره باشد. است، همچنین در جملات بعدی عبارات نادرست و نیست خود به ترتیب نقیض عبارات درست و هست می باشند
[ویرایش] گزاره های فصلی و عطفی
در منطق دو ارزشی همه چیز بر پایه ی دو حالت بنا شده است ، بنابر این ما در این منطق دو عملگر اصلی داریم. "یا" ، "و" عملگرهای اصلی این منطق هستند و عملگرهای دیگر به صورت شکل دیگری از ترکیب این دو عملگر و نقایض آن ها ایجاد می شوند.
گزاره های فصلی : گزاره هایی هستند که در آنها حرف ربط "یا" به کار رفته است. گزاره های چند جزئی که با حرف ربط "یا" به یکدیگر مربوط می شوند حتی اگر یکی از گزاره ها درست باشد شرط درست است و برای نادرستی شرط باید تمامی گزاره ها نادرست باشند.
گزاره های عطفی : گزاره هایی هستند که در آنها حرف ربط "و" به کار رفته است. گزاره های چند جزئی که با حرف ربط "و" به یکدیگر مربوط می شوند حتی اگر یکی از گزاره ها درست نباشد شرط نادرست است و برای درستی شرط باید تمامی گزاره ها درست باشند.
همانطور که در بالا دید هر دو دارای تعریفی مشابه و نقیض یکدیگر هستند، پس می توان گفت که نقیض گزاره های فصلی به شکل عطفی است و نقیض گزاره های عطفی به شکل فصلی است.
[ویرایش] متغیرهای عمومی و وجودی
در منطق دو ارزشی دو قسم متغیر برای تعاریف خود داریم ، "به طور کلی(کلاً)" ، "وجود دارد(جزئاً)". تمامی تعاریف ما یا به شکل کلی و یا به شکلی جزئی تعریف خواهند شد
متغیرهای کلی : متغیرهایی هستند که یک گزاره را به طور کلی تعریف می کنند. هنگامی که شما یک شرط کلی تعریف می کنید یعنی هر چیزی که عضو آن مجموعه باشد دارای آن خاصیت است.
متغیرهای جزئی : متغیرهایی هستند که یک گزاره را به طور جزئی تعریف می کنند. هنگامی که شما یک شرط وجودی (جزئی) تعریف می کنید یعنی لااقل یک چیز وجود دارد که عضو آن مجموعه است.
نقیض گزاره های کلی به شکلی جزئی است و نقیض گزاره های جزئی به شکل کلی است.
[ویرایش] کاربردهای ریاضی
روش‌ها و نتایج بدست‌آمده در منطق ریاضی، نه تنها در حلّ مسائل بنیانی موارد استفاده دارد، بلکه، در بسیاری از شاخه‌های دیگر ریاضیّات نظیر جبر، هندسه و توپولوژی هم مورد بهره‌برداری قرار می‌گیرد.
[ویرایش] پیوندهای بیرونی
- مقاطع، رشته‌ها، و گرايشهای گروه فلسفه و حكمت، دانشگاه تربیت مدرّس
[ویرایش] منابع
- Ebbinghaus, H. -D., Flum, J., and Thomas, W. Mathematical logic, Springer-Verlag New York Inc., 1984. ISBN: 0-387-96170-4
[ویرایش] جستارهای وابسته
- حساب گزاره‌ها
- منطق محمولات
- منطق فلسفی
- منطق‌های توصیف (Description logics)
- نظریهٔ مجموعه‌ها
- برهان خلف
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
