برهان خلف

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد.

در متن این مقاله از هیچ منبع و ماخذی نام برده نشده‌است.
شما می‌توانید با افزودن منابع بر طبق اصول اثبات‌پذیری و شیوه‌نامهٔ ارجاع به منابع، به ویکی‌پدیا کمک کنید.
مطالب بی‌منبع احتمالاً در آینده حذف خواهند‌ شد.

این مقاله نیازمند ویکی‌سازی است. لطفاً با توجه به راهنمای ویرایش و شیوه‌نامه آن را تغییر دهید.
در پایان، پس از ویکی‌سازی این الگوی پیامی را بردارید.

برهان خلف یکی از روش‌های اثبات در علم ریاضی و منطق می‌باشد. این روش اثبات غیر مستقیم نامیده می‌شود. در روش برهان خلف، برای آنکه ثابت کنیم قضیه‌ای درست است، ثابت می‌کنیم که خلاف آن قضیه، یعنی نقیض آن، نادرست است.

برهان خلف معمولاً در اثبات عکس یک قضیه بکار می رود و مورد استفاده در قضیه های دوشرطی است.

در زندگی روزمره نیز برهان خلف بسیار استفاده می شود. گاهی برای طنز، گاهی برای رد حرف یک نفر و گاهی در سیاست.

[ویرایش] روش اثبات با برهان خلف

به این ترتیب که از صورت سوال قسمت اول را به‌عنوان فرض و قسمت دوم که باید اثبات شود را به‌عنوان حکم در نظر می‌گیریم. در مرحله بعدی، که باید حکم را اثبات نمائیم، در جهت عکس ان یعنی در جهت اثبات خلاف حکم حرکت می‌کنیم. از این طریق اگر ما به تناقض با فرض صورت مسئله برسیم به این نتیجه خواهیم رسید که غلط بودن حکم مسئله اشتباه است. پس حکم درست می‌باشد. به این نوع روش اثبات، برهان خلف گفته می‌شود.

[ویرایش] استدلال برهان خلف

فرض کنیم که P گزاره ی فرض ما و Q گزاره حکم ما باشد به طوریکه بخواهیم Q را از P نتیجه بگیریم یعنی :

${P \Rightarrow Q}$

حال اگر بخواهیم از برهان خلف استفاده کنیم ابتدا نقیض حکم را می سازیم و به عنوان فرض جدید در نظر می گیریم و سعی می کنیم تا به فرض قدیم برسیم :

$\lnot Q \equiv P'$

${P' \Rightarrow P}$

حال اگر Q درست بوده باشد پس نقیض آن یعنی $\lnot Q$ ( که همان P' می باشد ) غلط است و عبارت ${P' \Rightarrow P}$ دارای تناقض است، اگر چنین باشد در این صورت یا P یا 'P باید غلط باشد. از آنجا که P فرض اصلی ما بوده است پس نمی تواند غلط باشد پس 'P غلط بوده است. پس نقیض 'P درست است. از آنجا که 'P برابر با نقیض Q بود پس نقیض 'P برابر با نقیض نقیض Q است، همانطور که می دانید نقیض نقیض هر گزاره برابر با خود گزاره است ، پس گزاره ی Q درست است و حکم ثابت می شود.