مانده (آنالیز مختلط)

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد.

در آنالیز مختلط، مانده عدد مختلطی است که رفتار انتگرال منحنی‌الخط یک تابع مرومورفیک را حول نقطه تکین شرح می‌دهد. مانده‌ها به سادگی می‌توانند محاسبه شوند و با استفاده از قضیه مانده مقدار بسیاری از انتگرال‌های پیچیده ا بدست می‌دهند.

[ویرایش] انگیزه

به عنوان یک مثال، انتگرال

$\oint_C {e^z \over z^5}\,dz$

را در نظر بگیرید که C یک خم ژوردان حول 0 است. اجازه بدهید این انتگرال را بدون استفاده از قضایای استاندارا انتگرال‌گیری حل کنیم. سری تیلور e^z را در تابع زیر انتگرال جایگزین می‌کنیم:

$\oint_C {1 \over z^5}\left(1+z+{z^2 \over 2!} + {z^3\over 3!} + {z^4 \over 4!} + {z^5 \over 5!} + {z^6 \over 6!} + \cdots\right)\,dz.$

حال 1/z⁵ را به داخل سری می‌بریم و داریم

$\oint_C \left({1 \over z^5}+{z \over z^5}+{z^2 \over 2!\;z^5} + {z^3\over 3!\;z^5} + {z^4 \over 4!\;z^5} + {z^5 \over 5!\;z^5} + {z^6 \over 6!\;z^5} + \cdots\right)\,dz$

$\oint_C \left({1 \over\;z^5}+{1 \over\;z^4}+{1 \over 2!\;z^3} + {1\over 3!\;z^2} + {1 \over 4!\;z} + {1\over\;5!} + {z \over 6!} + \cdots\right)\,dz.$

حال انتگرال به شکل ساده‌تری تبدیل می‌شود. با به خاطر آوردن

$\oint_C {1 \over z^a} \,dz=0,\quad a \in \mathbb{R},\mbox{ for }a \ne 1.$

اکنون انتگرال حول C برای هر جمله که به شکل cz⁻¹ نیست صفر می‌شود، و انتگرال به صورت زیر می‌شود:

$\oint_C {1 \over 4!\;z} \,dz={1 \over 4!}\oint_C{1 \over z}\,dz={1 \over 4!}(2\pi i) = {\pi i \over 12}.$

مقدار 1/4! با عنوان مانده‌ی e^z/z⁵ در z = 0 شناخته می‌شود، و به صورت زیر نشان داده می‌شود

$\mathrm{Res}_0 {e^z \over z^5},\ \mathrm{or}\ \mathrm{Res}_{z=0} {e^z \over z^5},\ \mathrm{or}\ \mathrm{Res}(f,0).$

[ویرایش] محاسبه‌ی مانده

دیسک سوراخ‌دار D = {z : 0 < |z − c| < R} را در صفحه مختلط و تابع هولومورفیک f (حداقل) تعریف شده بر D را در نظر بگیرید. مانده‌ی f در c ضریب a₋₁ از (z − c)⁻¹ در سری لوران بسط f حول c است. در یک قطب ساده، مانده به‌وسیله‌ی

$\operatorname{Res}(f,c)=\lim_{z\to c}(z-c)f(z)$

بدست می‌اید. بر اساس فرمول انتگرال‌گیری داده شده در مقاله‌ی سری لوران داریم:

$\operatorname{Res}(f,c) = {1 \over 2\pi i} \int_\gamma f(z)\,dz$

که γ دایره را حول c در جهت پادساعتگرد می‌پیماید. می‌توانیم γ را یک دایره با شعاع ε حول c انتخاب کنیم که ε به اندغزه دلخواه کوچک است. مانده‌ی تابع f(z)=g(z)/h(z) در قطب ساده c که gو h توابع هولومورفیک در همسایگی c با h(c) = 0 و g(c) ≠ 0 به‌وسیله‌ی