تابع مرومورفیک

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد.

در آنالیز مختلط، یک تابع مرومورفیک روى یک زیرمجموعه باز D از صفحه مختلط، یک تابع است که روى تمام D به جز نقاط تکین خود هولومورفیک است، که این نقاط قطب‌هاى تابع هستند. (نام‌گذارى از کلمهء باستانى یونانى "meros"، به معنی جزء در برابر "holos"‌به معنی کل می‌آید.) این چنین توابع را گاهی توابع منظم یا روى D منظم می‌گویند. هر تابع مرومورفیک روى D می‌تواند به صورت نسبت بین دو تابع هولومورفیک (با مخرجی که ثابت 0 نباشد.) تعریف‌شده روى D بیان‌ شود. بنابراین قطب‌ها در صفرهاى مخرج اتفاق می‌افتند. پس ذاتا یک تابع مرومورفیک نسبت دو تابع «مؤدب» (هولومورفیک) است. چنین تابعی به جز در نقاطی که مخرج تابع صفر است و مقدار تابع بینهایت خواهد شد، همچنان «مؤدب» می‌ماند. از دید جبری اگر D همبند باشد، آنگاه مجموعه‌ی توابع مرومورفیک، میدان کسرهای دامنه‌ی انتگرال از مجموعه‌ی توابع هولومورفیک است. این قایل قیاس با رابطه‌ی بین ، اعداد کسری، و ، اعداد صحیح است.

[ویرایش] مثالها

• تمام توابع گویا مانند

f(z) = (z³ − 2z + 1)/(z⁵ + 3z − 1) ‎

در کل صفحه‌ی مختلط مرومورفیک‌اند.

• توابع f(z) = exp(z)/z و f(z) = sin(z)/(z − 1)²

همانند تابع گاما و تابع زیتای ریمان بر روی کل صفحه‌ی مختلط مرومورفیک‌اند.

• تابع

f(z) = exp(1/z) در تمام صفحه‌ی مختلط به جز مبدا تعریف شده است. با این وجود، 0 قطب این تابع نیست، بلکه یک نقطه تکین اساسی است. بنابراین، این تابع در تمام صفحه‌ی مختلط مرومورفیک نیست. با این وجود، روی C\{0} مرومورفیک (حتی هولومورفیک) است.

[ویرایش] خصوصیات

از آنجایی که قطب‌های یک تابع مرومورفیک منفردند، پس شمارایند. مجموعه‌ی قطبها می‌تواند نامتناهی باشد همانطور که با تابع زیر نشان داده شده است

f(z)=1/sin(z).

با استفاده از پیوستگی تحلیلی برای زدودن نقطه تکین منفرد، توابع مرومورفیک می‌توانند جمع، تفریق، و ضرب شوند، و تقسیم f/g می‌تواند شکل بگیرد مگر اینکه روی یک مؤلفه‌ی همبند D ، g(z) = 0. بنابراین، اگر D همبند باشد، توابع مرومورفیک یک میدان تشکیل می‌دهند. در حقیقت یک میدان الحاقی از اعداد مختلط.

[ویرایش] همچنین نگاه کنید به