Residuum (Funktionentheorie)

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In der Funktionentheorie ist das Residuum einer komplexwertigen Funktion ein Hilfsmittel zur Berechnung von komplexen Kurvenintegralen mit Hilfe des Residuensatzes.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition
2 Praktische Berechnung
3 Beispiele
4 Algebraische Sichtweise
5 Literatur

[Bearbeiten] Definition

Ist $D\subseteq\mathbb{C}$ ein Gebiet, $D f$ isoliert in $D$ und $f\colon D\setminus D_f \to \mathbb{C}$ holomorph, so existiert zu jedem Punkt $a\in D$ eine punktierte Umgebung $U:=U_r(a)\setminus\{a\}\subset D$ , die relativ kompakt in $D$ liegt, mit $f | U$ holomorph. Diesenfalls besitzt $f$ auf $U$ eine Laurententwicklung $f|_U(z)=\sum\limits_{n=-\infty}^\infty a_n(z-a)^n$ . Dann definiert man für das Residuum von $f$ in $a$

$\operatorname{Res}_af:=a_{-1}=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U} f(z) dz$ .

Nach dem Cauchyschen Integralsatz verschwindet das Residuum, wenn $f$ in $a$ holomorph ist. An der Integraldarstellung erkennt man insbesondere, dass man eigentlich vom Residuum der Differentialform $f (z)d z$ sprechen sollte. Dies wird beispielsweise auch dann klar, wenn $\infty$ eine isolierte Singularität von $f$ ist, denn dann definiert man

$\operatorname{Res}_\infty f(z):=\operatorname{Res}_0\left(-\frac{1}{z^2}f\left(\frac{1}{z}\right)\right)$ .

Beachte hierbei, dass mit $w=\frac{1}{z}$ gilt: $f(w)\mathrm{d}w=f\left(\frac{1}{z}\right)\mathrm{d}\frac1z=-\frac{1}{z^2}f\left(\frac{1}{z}\right)\mathrm{d}z$

[Bearbeiten] Praktische Berechnung

Folgende Regeln können zur Berechnung von Residuen von komplexwertigen Funktionen $f, g$ im Punkt $a\in\mathbb{C}$ in der Praxis verwendet werden:

Das Residuum ist $\mathbb{C}$ -linear, d.h. für $\lambda,\mu\in\mathbb{C}$ gilt: $\operatorname{Res}_a \left( \lambda f + \mu g \right) = \lambda\operatorname{Res}_a f + \mu\operatorname{Res}_a g$
Hat $f$ in $a$ eine Polstelle 1. Ordnung, gilt: $\operatorname{Res}_a f = \lim\limits_{z\rightarrow a} (z-a)f(z)$
Hat $f$ in $a$ eine Polstelle 1. Ordnung und ist g in $a$ holomorph, gilt: $\operatorname{Res}_a gf=g(a)\operatorname{Res}_a f$
Hat $f$ in $a$ eine Polstelle $n$ -ter Ordnung, gilt: $\operatorname{Res}_a f = \frac{1}{\left(n-1\right)!}\lim\limits_{z\rightarrow a}\frac{\partial^{n-1}}{\partial z^{n-1}}[(z-a)^nf(z)]$
Hat $f$ in $a$ eine Nullstelle 1. Ordnung, gilt: $\operatorname{Res}_a\frac{1}{f} = \frac{1}{f'(a)}$
Hat $f$ in $a$ eine Nullstelle 1. Ordnung und ist g in $a$ holomorph, gilt: $\operatorname{Res}_a\frac{g}{f} = \frac{g(a)}{f'(a)}$
Hat $f$ in $a$ eine Nullstelle $n$ -ter Ordnung, gilt: $\operatorname{Res}_a\frac{f'}{f}=n$ .
Hat $f$ in $a$ eine Nullstelle $n$ -ter Ordnung und ist g in $a$ holomorph, gilt: $\operatorname{Res}_a g\frac{f'}{f}=g(a)n$ .
Hat $f$ in $a$ eine Polstelle $n$ -ter Ordnung, gilt: $\operatorname{Res}_a\frac{f'}{f}=-n$ .
Hat $f$ in $a$ eine Polstelle $n$ -ter Ordnung und ist g in $a$ holomorph, gilt: $\operatorname{Res}_a g\frac{f'}{f}=-g(a)n$ .

Die Regeln über die logarithmische Ableitung $\frac{f'}{f}$ sind in Verbindung mit dem Residuensatz auch von theoretischem Interesse.

[Bearbeiten] Beispiele

Wie bereits erwähnt, ist $\operatorname{Res}_a f=0$ , wenn $f$ in $a$ holomorph ist.
Ist $f(z)=\frac{1}{z}$ , so hat $f$ in $0$ einen Pol 1. Ordnung, und es ist $\operatorname{Res}_0 f=1$ .
$\operatorname{Res}_1\frac{z}{z^2-1}=\frac{1}{2}$ , wie man sofort mit der Linearität und der Regel von der logarithmischen Ableitung sieht, denn $z\mapsto z^2-1$ hat in $1$ eine Nullstelle 1. Ordnung.
Die fortgesetzte Gammafunktion hat in $- n$ für $n\in\mathbb{N}_0$ Pole 1. Ordnung, und das Residuum dort ist $\operatorname{Res}_{-n}\Gamma=\frac{(-1)^n}{n!}$ .

[Bearbeiten] Algebraische Sichtweise

Es seien $k$ ein Körper und $X$ eine zusammenhängende reguläre eigentliche Kurve über $k$ . Dann gibt es zu jedem abgeschlossenen Punkt $x\in X$ eine kanonische Abbildung

$\operatorname{res}_x\colon\Omega_{k(X)/k}\to k,$

die jeder meromorphen Differentialform ihr Residuum in $x$ zuordnet.

Ist $x$ ein $k$ -rationaler Punkt und $t$ eine lokale Uniformisierende, so kann die Residuenabbildung wie folgt explizit angegeben werden: Ist $ω$ eine meromorphe Differentialform und $\omega=f\,\mathrm dt$ eine lokale Darstellung, und ist