Cauchyscher Integralsatz

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Der cauchysche Integralsatz (nach Augustin Louis Cauchy) ist einer der wichtigsten Sätze der Funktionentheorie. Er handelt von Kurvenintegralen für holomorphe (auf einer offenen Menge komplex-differenzierbare) Funktionen. Im Kern besagt er, dass zwei dieselben Punkte verbindende Wege das gleiche Wegintegral besitzen, falls die Funktion überall zwischen den zwei Wegen holomorph ist. Der Satz gewinnt seine Bedeutung unter anderem daraus, dass man ihn zum Beweis der cauchyschen Integralformel und des Residuensatzes benutzt.

Die erste Formulierung des Satzes stammt von 1814, als Cauchy ihn für rechteckige Gebiete bewies. Dies verallgemeinerte er in den nächsten Jahren, allerdings setzte er dabei den jordanschen Kurvensatz als selbstverständlich voraus. Moderne Beweise kommen durch Verwendung des Lemmas von Goursat ohne diesen Makel aus.

[Bearbeiten] Der Satz

Der Integralsatz wurde in zahlreichen Versionen formuliert, wobei die allgemeineren Aussagen stets auf die Fassung für Sterngebiete zurückgeführt werden. Eine weiter vereinfachte Formulierung besagt, dass, wenn $D\subseteq \mathbb{C}$ ein konvexes Gebiet in der komplexen Zahlenebene, $f\colon D\to\mathbb{C}$ eine auf diesem Gebiet holomorphe Funktion und $\Delta\subseteq D$ ein in $D$ gelegenes Dreieck ist, das komplexe Kurvenintegral längs des Randes von $Δ$ verschwindet. Diese Aussage wird das Lemma von Goursat oder auch das Fundamentallemma der Funktionentheorie genannt.

[Bearbeiten] Cauchyscher Integralsatz für Sterngebiete

Ist $D\subseteq\mathbb{C}$ ein Sterngebiet und $f\colon D\to\mathbb{C}$ holomorph, dann besitzt $f$ eine Stammfunktion auf $D$ . Äquivalent zu dieser Aussage ist, dass das Integral $\oint_\gamma f$ über jede geschlossene Kurve $\gamma\colon [0,1]\to D$ in $D$ verschwindet.

Die Aussage bleibt auch dann noch richtig, wenn $f$ stetig auf $D$ und holomorph auf $D\setminus\{a\}$ für ein Sternzentrum $a$ ist.

Weil eine $\varepsilon$ -Umgebung konvex und damit insbesondere ein Sterngebiet ist, besitzt jede holomorphe Funktion lokal eine Stammfunktion.

Ist $D$ kein Sterngebiet, so ist die Aussage im Allgemeinen falsch. Zum Beispiel ist $z\mapsto\tfrac 1z$ auf dem nicht sternförmigen Gebiet $\mathbb C\setminus\{0\}$ holomorph, dennoch verschwindet $\oint_\gamma f$ nicht über jede geschlossene Kurve. Beispielsweise gilt

$\oint_{\partial U_r(0)}\frac{\mathrm dz}{z}=2\pi\mathrm i\neq 0$

für die einfach durchlaufene Randkurve einer Kreisscheibe um $0$ mit positivem Radius $r$ .

[Bearbeiten] Cauchyscher Integralsatz (Homotopie-Version)

Ist $D\subseteq\mathbb C$ offen und sind $\alpha,\beta\colon[0,1]\to D$ homotope Kurven in D, dann ist

∫	f =	∫	f
α		β

für jede holomorphe Funktion $f\colon D\to\mathbb C$ .

Ist $D$ ein einfach zusammenhängendes Gebiet, dann verschwindet das Integral nach der Homotopie-Version für jede geschlossene Kurve, d.h. $D$ ist ein Elementargebiet.

Bei erneuter Betrachtung obigen Beispiels bemerkt man, dass $\mathbb C\setminus\{0\}$ nicht einfach zusammenhängend ist.

[Bearbeiten] Cauchyscher Integralsatz (Homologie-Version)

Ist $D\subseteq\mathbb C$ ein Gebiet und $Γ$ ein Zyklus in $D$ , dann verschwindet

∫	f
Γ

für jede holomorphe Funktion $f\colon D\to\mathbb C$ genau dann, wenn $Γ$ nullhomolog in $D$ ist.

[Bearbeiten] Einzelne Singularitäten

Es sei $D\subseteq\mathbb C$ ein Gebiet, $a\in D$ ein innerer Punkt und $f\colon D\setminus\{a\}\to\mathbb{C}$ holomorph. Sei $U:=U_r(a)\setminus\{a\}\subset D$ eine punktierte Umgebung, auf der $f$ holomorph ist. Sei ferner $γ$ eine vollständig in $D$ verlaufende geschlossene Kurve, die $a$ genau einmal positiv orientiert umläuft, d.h. für die Windungszahl gilt $\operatorname{ind}_{\gamma}(a)=1$ (insbesondere liegt $a$ nicht auf $γ$ ). Mit dem Integralsatz gilt nun

$\oint_\gamma f=\oint_{\partial U} f.$

Durch Verallgemeinerung auf beliebige Windungszahlen von $γ$ erhält man

$\oint_\gamma f=\operatorname{ind}_{\gamma}(a) \oint_{\partial U}f.$

Mithilfe der Definition des Residuums ergibt sich sogar

$\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_\gamma f=\operatorname{ind}_{\gamma}(a)\operatorname{Res}_a f(z).$

Der Residuensatz ist eine Verallgemeinerung dieser Vorgehensweise auf mehrere isolierte Singularitäten und auf Zyklen.

[Bearbeiten] Literatur

Kurt Endl, Wolfgang Luh: Analysis III. Aula-Verlag 1987 (6-te Auflag), ISBN 3-89104-456-9, S. 143, Satz 4.7.3
Wolfgang Fischer, Ingo Lieb: Funktionentheorie. Vieweg 1994 (7-te Auflage), ISBN 3-528-67247-1, S. 57 Katipel III-Satz 1.4

Kategorien: Funktionentheorie | Satz (Mathematik)

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Cauchyscher Integralsatz

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Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Der Satz

[Bearbeiten] Cauchyscher Integralsatz für Sterngebiete

[Bearbeiten] Cauchyscher Integralsatz (Homotopie-Version)

[Bearbeiten] Cauchyscher Integralsatz (Homologie-Version)

[Bearbeiten] Einzelne Singularitäten

[Bearbeiten] Literatur

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