Residuum
Z Wikipedii
Residuum - (łac. reszta) w punkcie z0 funkcji holomorficznej nazywamy współczynnik z numerem -1 w rozwinięciu tej funkcji w Szereg Laurenta w punkcie z0.
Równoważna definicja: residuum w punkcie z0 funkcji holomorficznej w otoczeniu nakłutym punktu z0 nazywamy wartość:
gdzie jest krzywą zwykłą zamkniętą dodatnio zorientowaną okrążającą punkt .
Residuum jest liczbą zespoloną opisującą zachowanie całek po konturach analitycznej funkcji f(z) wokół punktu osobliwości. Twierdzenie o residuach pomaga przy obliczaniu całek po konturach.
Rozważmy przykład całki po konturze:
gdzie C jest dodatnio zorientowanym okręgiem ze środkiem w 0.
Obliczmy tą całkę bez używania standardowych twierdzeń o całkowaniu. Szereg Taylora dla ez jest dobrze znany, więc wstawiamy go do całki. Otrzymamy:
Dołączmy składnik 1/z5 do szeregu, otrzymamy:
Nasza całka otrzyma przyjemniejszą formę. Zauważmy, że:
Teraz całka wokół C dla każdego składnika ze współczynnikiem innym od cz−1 staje się 0, i całość redukuje się do:
I w efekcie za pomocą wzoru całkowego Cauchy'ego otrzymujemy równość:
Wartość 1/4! jest znana jako residuum z ez/z5 w z=0, a jego notacja to
[edytuj] Zobacz też:
Całka krzywoliniowa (twierdzenie Cauchy'ego)