Γωνία

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Γωνία ορισμένη από τις ημιευθείες Οχ και Οψ.

Στην ευκλείδεια γεωμετρία, γωνία είναι το γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από δύο ημιευθείες με κοινή αρχή. Οι ημιευθείες λέγονται πλευρές της γωνίας και η κοινή τους αρχή κορυφή της γωνίας. Στο σχήμα, Ο είναι η κορυφή και Οχ, Οψ οι δύο πλευρές. Υιοθετώντας δεξιόστροφο προσανατολισμό, το γραμμοσκιασμένο υποσύνολο του επιπέδου λέγεται εσωτερικό και το μη γραμμοσκιασμένο, εξωτερικό της γωνίας.

Διχοτόμος μίας γωνίας χΟψ ονομάζεται μία ημιευθεία Οδ που έχει αρχή την κορυφή της γωνίας, βρίσκεται στο εσωτερικό της και είναι τέτοια ώστε να χωρίζει τη γωνία σε δύο ίσες γωνίες χΟδ και δΟψ. Στα πλαίσια της Ευκλείδειας γεωμετρίας, η διχοτόμος μίας γωνίας είναι αξιωματικά μοναδική.

[Επεξεργασία] Ειδικές περιπτώσεις

• Μία γωνία στην οποία οι πλευρές είναι αντικείμενες ημιευθείες λέγεται ευθεία γωνία. Με άλλα λόγια κάθε ευθεία με ένα σημείο της μπορεί να θεωρηθεί ως ευθεία γωνία.
• Μια γωνία το εσωτερικό της οποίας δεν περιέχει κανένα σημείο λέγεται μηδενική γωνία, ενώ μια γωνία το εσωτερικό της οποίας περιέχει όλο το επίπεδο εκτός των πλευρών της λέγεται πλήρης γωνία. Κάθε ημιευθεία μπορεί να ιδωθεί ως μηδενική ή πλήρης γωνία, ανάλογα με το πώς εκλαμβάνουμε το εσωτερικό της.
• Ορθή είναι μία γωνία που προκύπτει από τη διχοτόμηση μίας ευθείας γωνίας. Προφανώς, όλες οι ορθές είναι ίσες μεταξύ τους. Κάθε γωνία μικρότερη από την ορθή λέγεται οξεία και κάθε κυρτή γωνία μεγαλύτερη από την ορθή λέγεται αμβλεία γωνία.

[Επεξεργασία] Σύγκριση γωνιών και πράξεις

Ας είναι χΟψ και κΑλ δύο γωνίες. Ταυτίζουμε την Οχ με την Ακ, ώστε η Αλ να βρίσκεται προς το μέρος της Οψ.

• Αν οι Οψ και Αλ συμπίπτουν τότε λέμε ότι η γωνία χΟψ είναι ίση με την κΑλ και γράφουμε χΟψ = κΑλ.
• Αν η Αλ βρίσκεται στο εσωτερικό της χΟψ τότε λέμε ότι η χΟψ είναι μεγαλύτερη από την κΑλ και γράφουμε χΟψ > κΑλ.
• Αν η Αλ βρίσκεται στο εξωτερικό της χΟψ τότε λέμε ότι η χΟψ είναι μικρότερη από την κΑλ και γράφουμε χΟψ < κΑλ.

Δύο γωνίες που έχουν κοινή αρχή, μία κοινή πλευρά και κανένα κοινό εσωτερικό σημείο, λέγονται διαδοχικές ή εφεξής γωνίες.

• Ας είναι χΟψ και κΑλ δύο γωνίες. Ταυτίζουμε την Οψ με την Ακ, έτσι ώστε οι δύο γωνίες να είναι διαδοχικές. Λέμε άθροισμα των γωνιών χΟψ και κΑλ τη γωνία χΑλ και γράφουμε χΑλ = χΟψ + κΑλ.
• Αν χΟψ > κΑλ, ταυτίζουμε την Οχ με την Ακ έτσι ώστε η Αλ να βρίσκεται στο εσωτερικό της χΟψ. Λέμε διαφορά της κΑλ από την χΟψ τη γωνία λΑψ και γράφουμε λΑψ = χΟψ - κΑλ.
• Ας είναι χΟψ μια γωνία και ν ένας φυσικός αριθμός. Αν κΑλ είναι μια γωνία για την οποία , τότε λέμε ότι η κΑλ είναι το ν-πλάσιο γινόμενο της χΟψ και γράφουμε . Γράφουμε επίσης και λέμε ότι η χΟψ είναι το υπο-ν-πλάσιο γινόμενο της κΑλ. Τέλος, αν μ είναι ένας φυσικός αριθμός και εΒζ είναι μια γωνία έτσι ώστε , τότε γράφουμε , και λέμε ότι η εΒζ είναι το γινόμενο ρητού αριθμού με γωνία.

Ως μέτρηση μιας γωνίας χΟψ εννοούμε την σύγκρισή της με μια άλλη γωνία, ας πούμε κΑλ, την οποία θεωρούμε αυθαίρετα μοναδιαία. Αν ισχύει , λέμε ότι το μέτρο ή το άνοιγμα της χΟψ ως προς την κΑλ είναι . Το μέτρο μιας γωνίας συνδέεται και με το μέτρο τόξου σε κύκλο.

[Επεξεργασία] Ειδικά ζεύγη γωνιών

Αριστερά: Οι κατακορυφήν γωνίες είναι ίσες. Δεξιά: Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών παραπληρωματικών γωνιών είναι κάθετες μεταξύ τους.

Δυο γωνίες στις οποίες οι πλευρές της μιας είναι οι αντικείμενες ημιευθείες των πλευρών της άλλης, λέγονται κατακορυφήν. Δυο γωνίες με άθροισμα μια ευθεία γωνία, λέγονται παραπληρωματικές και δυο γωνίες με άθροισμα μια ορθή γωνία, λέγονται συμπληρωματικές.

Στα πλαίσια της ευκλείδειας γεωμετρίας ισχύουν τα παρακάτω:

• Οι κατακορυφήν γωνίες είναι ίσες.
• Οι διχοτόμοι δυο κατακορυφήν γωνιών είναι αντικείμενες ημιευθείες.
• Αν δύο διαδοχικές γωνίες είναι παραπληρωματικές, τότε έχουν τις μη κοινές πλευρές τους αντικείμενες ημιευθείες, και αντίστροφα.
• Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών παραπληρωματικών γωνιών είναι κάθετες μεταξύ τους.

Γωνίες εντός, εκτός, εναλλάξ και επί τα αυτά ευθειών.

Ας είναι φ και χ δύο ευθείες οι οποίες τέμνονται από τρίτη ευθεία ψ στα σημεία αντίστοιχα Α και Β. Σχηματίζονται οχτώ γωνίες, όπως φαίνεται στο σχήμα αριστερά. Οι γωνίες Α1, Α2, Β3 και Β4 λέγονται εκτός των φ και χ. Οι Α3, Α4, Β1 και Β2 λέγονται εντός των φ και χ. Επίσης οι Α1 και Β3 λέμε ότι είναι γωνίες εναλλάξ της ψ. Το ίδιο και για τις Α2 και Β4. Τέλος λέμε ότι οι Α2 και Β2 είναι επί τα αυτά μέρη της ψ.

[Επεξεργασία] Ιδιότητες

• Αν δύο παράλληλες ευθείες τέμνονται από τρίτη, τότε:
  • σχηματίζουν τις εντός εναλλάξ γωνίες ίσες
  • σχηματίζουν τις εντός-εκτός και επί τα αυτά γωνίες ίσες
  • σχηματίζουν τις εντός και επί τα αυτά γωνίες παραπληρωματικές

• Δύο γωνίες που έχουν πλευρές παράλληλες μία προς μία είναι ίσες ή παραπληρωματικές.

Γωνίες με παράλληλες πλευρές.

Απόδειξη: Έστω γωνίες φ και ω με πλευρές παράλληλες. Διακρίνουμε σε τρεις περιπτώσεις:

Αν φ < 90° και ω < 90° τότε είναι ίσες ως εντός εκτός επί τα αυτά με γωνία ρ, όπως φαίνεται στο αντίστοιχο σχήμα (αριστερά επάνω).

Αν φ > 90° και ω < 90°, όπως στο αντίστοιχο σχήμα (αριστερά κάτω) τότε είναι ίσες ως παραπληρωματικές ίσων γωνιών, από την προηγούμενη περίπτωση.

Αν φ > 90° και ω > 90° τότε είναι παραπληρωματικές ως ίσες προς παραπληρωματικές. Στο αντίστοιχο σχήμα (δεξιά) φερειπείν έχουμε φ = ρ και ω + ρ = 180°.

• Δύο γωνίες που έχουν πλευρές κάθετες μία προς μία είναι ίσες ή παραπληρωματικές.

Γωνίες με κάθετες πλευρές.

Απόδειξη: Έστω φ και ω δύο γωνίες με πλευρές κάθετες μία προς μία. Διακρίνουμε σε τρεις περιπτώσεις:

Αν φ < 90° και ω < 90° τότε από την κορυφή της ω φέρνουμε ημιευθείες παράλληλες αντίστοιχα στις πλευρές της φ, όπως φαίνεται στο αντίστοιχο σχήμα (επάνω). Η γωνία κΒι που σχηματίζεται θα είναι ίση με τη φ, σύμφωνα με την προηγούμενη ιδιότητα. Επίσης, επειδή η Βι είναι παράλληλη στην Αε και η Αε είναι κάθετη στην Βη, οι Βι, Βη είναι κάθετες, δηλαδή η γωνία ιΒη θα είναι ορθή. Όμοια, είναι και η κΒθ ορθή. Έχουμε τις ακόλουοθες διαδοχικά ισότητες γωνιών:

Αν φ > 90° και ω > 90° τότε είναι ίσες ως παραπληρωματικές οξειών γωνιών με κάθετες πλευρές.

Αν φ < 90° και ω > 90° τότε, όπως φαίνεται στο αντίστοιχο σχήμα (κάτω), η εφεξής παραπληρωματική της ω είναι οξεία και έχει κάθετες πλευρές με τη φ, άρα είναι ίση της φ. Δηλαδή:

[Επεξεργασία] Δείτε ακόμη

• Κύκλος
• Τρίγωνο
• Ωρική γωνία