Διχοτόμος γωνίας

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Η διχοτόμος ευθεία ή απλά διχοτόμος μιας γωνίας στην ευκλείδεια γεωμετρία είναι μια ημιευθεία που ξεκινά από την κορυφή της γωνίας, βρίσκεται στο εσωτερικό της και την χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες.

[Επεξεργασία] Η διχοτόμος ως γεωμετρικός τόπος

Η διχοτόμος αποτελείται από τα σημεία που ισαπέχουν από τις πλευρές της γωνίας.

Η διχοτόμος μιας γωνίας είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από τις πλευρές της γωνίας.

Απόδειξη: Ας είναι Οδ η διχοτόμος της γωνίας χΟψ και Σ σημείο της Οδ. Φέρνουμε τις κάθετες ΣΑ στην Οχ και ΣΒ στην Οψ. Θέλουμε να δείξουμε ότι οι αποστάσεις ΣΑ και ΣΒ είναι ίσες. Τα τρίγωνα ΑΣΟ και ΒΣΟ είναι ίσα ως ορθογώνια με την υποτείνουσα και μία οξεία γωνία ίσα. Συνεπώς ΣΑ = ΣΒ.

Αντίστροφα, ας είναι χΟψ η γωνία και Σ εσωτερικό της σημείο τέτοιο ώστε να ισαπέχει από τις Οχ και Οψ, δηλαδή ΣΑ = ΣΒ. Τότε τα τρίγωνα ΑΣΟ και ΒΣΟ είναι ίσα ως ορθογώνια με κοινή υποτείνουσα και ίση κάθετη πλευρά. Συνεπώς Ο₁ = Ο₂ (ισότητα γωνιών).