Μεσοκάθετη ευθύγραμμου τμήματος

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Μεσοκάθετη ευθεία ή απλά μεσοκάθετη ενός ευθύγραμμου τμήματος στην ευκλείδεια γεωμετρία είναι μια ευθεία που διέρχεται από το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος και είναι κάθετη σε αυτό.

[Επεξεργασία] Η μεσοκάθετη ως γεωμετρικός τόπος

Η μεσοκάθετη αποτελείται από τα σημεία που ισαπέχουν από τα άκρα του τμήματος.

Η μεσοκάθετη ενός ευθύγραμμου τμήματος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από τα άκρα του τμήματος.

Απόδειξη: Ας είναι ΑΒ ένα ευθύγραμμο τμήμα και Σ ένα σημείο στη μεσοκάθετή του. Τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΜΣ και ΒΜΣ είναι ίσα από το κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς. Συνεπώς θα είναι ΑΣ = ΒΣ.

Αντίστροφα, ας είναι ΑΒ το ευθύγραμμο τμήμα και Σ ένα σημείο του επιπέδου τέτοιο ώστε ΑΣ = ΒΣ. Αν Μ είναι το ίχνος του Σ στο ΑΒ, τα τρίγωνα ΑΜΣ και ΒΜΣ είναι ίσα ως ορθογώνια με μία κοινή κάθετη και ίση υποτείνουσα. Τότε θα έχουμε ΑΜ = ΒΜ, δηλαδή το Μ θα είναι το μέσο του ΑΒ και η κάθετη ΣΜ θα είναι η μεσοκάθετη.