Zahlensystem

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Ein Zahlensystem wird zur Darstellung von Zahlen verwendet. Eine Zahl wird dabei nach den Regeln des jeweiligen Zahlensystems als Folge von Ziffern dargestellt.

Die moderne Forschung unterscheidet zwischen additiven, hybriden und positionellen Zahlensystemen.

Inhaltsverzeichnis 1 Additionssysteme 1.1 Entwickelte Additionssysteme 1.1.1 Verschiedene Ziffern für jede Einheit der verschiedenen Potenzen der Basis 1.1.2 Mehrere Ziffern innerhalb der verschiedenen Potenzen der Basis 1.1.3 Jede Grundzahl innerhalb der verschiedenen Potenzen der Basis hat eine eigene Ziffer 2 Hybridsysteme 3 Stellenwertsysteme 3.1 Eigenschaften 4 Gebräuchliche Basen der Zahlensysteme 5 Konvertierungen 5.1 Basis 10 => Basis 5 5.2 Basis 5 => Basis 10 6 Literatur 7 Weblinks

[Bearbeiten] Additionssysteme

In einem Additionssystem wird eine Zahl als Summe der Werte ihrer Ziffern dargestellt. Dabei spielt die Position der einzelnen Ziffern keine Rolle.

Ein Beispiel ist das Strichsystem (Unärsystem), das sich anbietet, wenn etwas schriftlich mitgezählt werden soll (wie zum Beispiel die Getränke auf einem Bierdeckeln). Hierbei wird die Zahl n durch n Striche dargestellt. Dies ist vermutlich eines der ältesten Zählsysteme überhaupt. Das Unärsystem wird bei der Darstellung größeren Zahlen sehr schnell unübersichtlich. Deshalb ist es meist üblich, die Zahlen in Blöcke zusammenzufassen, indem man etwa jeden fünften Strich quer über die vier vorangegangenen Einzelstriche legt. Obwohl es aus diesem Grund nicht geeignet ist große Zahlen darzustellen, wird es im Alltag dennoch in manchen Situationen verwendet. Eine Addition um einen Zahlenwert ist einfach durch das Hinzufügen eines Striches möglich. Herkömmliche Systeme lassen eine so einfache und schnelle Erweiterung im Allgemeinen nicht zu.

[Bearbeiten] Entwickelte Additionssysteme

[Bearbeiten] Verschiedene Ziffern für jede Einheit der verschiedenen Potenzen der Basis

Ein derartiges Zahlensystem wurde schon vor ca. 5000 Jahren im alten Ägypten mit den Hieroglyphenzahlen verwendet.

Das Prinzip dieses Systems setzt für jede Potenz der Basis eine Ziffer, also z. B.: E=1, Z=10, H=100 und T=1000.
Die einzelnen Stellen wurden zumeist graphisch geordnet; im folgenden, prinzipiellen Beispiel nach den Dominoaugen.

                 HHH  ZZZ    E
 1982   =    T   HHH  Z Z    
                 HHH  ZZZ  E

In Susa wurde fast zeitgleich – also noch während der proto-elamitischen Epoche – ein solches Zahlensystem entwickelt, genauso wie – ab dem zweiten vorchristlichen Jahrtausend – von den Minoern auf Kreta, sowie etwas später auch von den Hethitern. Von meso-amerikanischen Hochkulturen sind Zahlensysteme nach diesem Prinzip ebenfalls bekannt.

Der Nachteil dieses Systems ist, dass jede Stelle aus der analogen Wiederholung des gleichen Zeichens besteht, weshalb die alten Ägypter schon Mitte des dritten Jahrtausends jede Stelle hieratisch-handschriftlich zu einer einzigen Ziffer zusammenzogen. Diese hieratischen Zahlen dienten den späteren alphabetischen Zahlen zum Vorbild.

[Bearbeiten] Mehrere Ziffern innerhalb der verschiedenen Potenzen der Basis

Die Verwendung eigener Zeichen für die „Halbzahlen“ verhindern eine allzu häufige Wiederholung des gleichen Zeichens.

Ein Beispiel hierfür bilden die Römischen Zahlen, welche neben den Buchstaben I, X, C und M als Symbole für 1, 10, 100 und 1000, ebenso auch V, L und D für 5, 50 und 500 benutzen.

Die Ziffern werden mit abnehmender Wertigkeit geschrieben und addiert. 1776 wird zum Beispiel als MDCC.LXXVI dargestellt. Um die Zahlen noch ein wenig kürzer zu halten, wurde das System später so modifiziert, dass jede Ziffer nur dreimal hintereinander auftreten darf. Steht eine kleinere Ziffer vor einer größeren, so wird die erstere von der letzteren abgezogen. So wurde VIIII zu IX. Diese Subtraktionsregel innerhalb des Additionssystems wird aber nicht immer beherzigt.

In Westeuropa wurde das römische Zahlensystem bis ins 15. Jahrhundert allgemein verwendet.

[Bearbeiten] Jede Grundzahl innerhalb der verschiedenen Potenzen der Basis hat eine eigene Ziffer

Bereits die hieratischen Zahlen (s. o.) gehorchten dem Prinzip der (im Dezimalsystem) jeweils neun verschiedenen Ziffern für jede verwendete Potenz der Basis.

Mitte des vierten vorchristlichen Jahrhunderts schufen die alten Griechen, ausgehend von diesen hieratischen Zahlen, die sogenannten alphabetischen Zahlen, indem sie die ersten 3×9 hieratischen Zahlen durch die Buchstaben ihres Alphabets ersetzten. Mittels der hybriden Verwendung der akrophonen Zahlen können auch große Zahlen dargestellt werden.

Außer in den weströmischen Gebieten, wo man stets an den römischen Zahlen festhielt, dominierte dieses progressive System – in ihren Adaptierungen an die jeweiligen Alphabete – sehr lange die Wissenschaft und Verwaltung von Persien, Armenien, Georgien, Arabien, Äthiopien, des Byzantinischen Reiches und des alten Russlands. Erst die indischen Ziffern lösten das System, nach viertausendjähriger Dominanz, allmählich ab. Im arabischen Raum schon Ende des ersten Jahrtausends nach Christus, sonst erst Mitte des zweiten Jahrtausends.

[Bearbeiten] Hybridsysteme

Hierbei wird eine Grundzahl einem Zeichen vorangestellt, das eine Potenz der Basis wiedergibt, beide werden miteinander multipliziert. In den europäischen Zahlensystemen kamen solche Hybridsysteme so gut wie nicht vor, wohl aber, schon seit Beginn des zweiten Jahrtausends vor Christus, in Mesopotamien, später auch in China und im Nahen Osten allgemein. Sowohl aus Äthiopien, als auch aus Südindien und Ceylon, sowie der Maya-Kultur sind solche hybriden Zahlensysteme bekannt.

[Bearbeiten] Stellenwertsysteme

In einem Stellenwertsystem (Positionssystem) bestimmt die Stelle (Position) den Wert der jeweiligen Ziffer. Die „niederwertigste“ Position steht dabei im Allgemeinen rechts.

Ein Stellenwertsystem hat eine Basis b. Jede Zifferposition hat einen Wert, der einer Potenz der Basis entspricht. Für die n-te Position hat man einen Wert von b^n-1.

Die Berechnung des Zahlenwertes erfolgt durch Multiplikation der einzelnen Ziffern z_i mit den zugehörigen Stellenwerten bⁱ und Summation dieser Produkte:

Zahlenwert = .

[Bearbeiten] Eigenschaften

• Für die Darstellung werden Ziffern benötigt, die von 0 bis b − 1 laufen.
• Die Zifferposition bestimmt den Stellenwert bⁿ.
• Zwei benachbarte Stellenwerte unterscheiden sich um den Faktor b.
• Der Zahlenwert ergibt sich aus der Summation aller Ziffernwerte, welche zuerst mit ihrem entsprechenden Stellenwert multipliziert worden sind.
• Mit der Beschränkung des niedrigsten Exponenten auf 0 kann man nur ganze Zahlen darstellen. Lässt man auch negative Exponenten zu, kann man auch rationale Zahlen in einem Stellenwertsystem schreiben, wobei der Übergang vom nichtnegativen zum negativen Exponenten durch ein Trennzeichen markiert wird, beispielsweise ein Komma:

• Die Ziffern einer rationalen Zahl p/q erhält man durch das Verfahren der schriftlichen Division. Im Zehner-System spricht man auch von Dezimalbruch-Entwicklung. Hat q zur Basis b teilerfremde Primfaktoren, bricht die schriftliche Division nicht ab, sondern liefert eine sich wiederholende Folge von Ziffern. Diese wird Periode genannt und durch Überstreichen gekennzeichnet, z. B.

.

• Die Basis b muss nicht notwendigerweise eine natürliche Zahl sein. Es wurde nachgewiesen, dass sämtliche komplexen Zahlen mit Betrag größer 1 als Basis eines Stellenwertsystems verwendet werden können. Ebenso sind Zahlensysteme mit gemischten Basen möglich. Beispiele hierfür findet man in Knuth: The Art of Computer Programming.
• Eine andere Darstellung für rationale und irrationale Zahlen ist der Kettenbruch, welcher bessere Approximationen liefert als die Stellenwertsysteme.

[Bearbeiten] Gebräuchliche Basen der Zahlensysteme

• Das bekannteste und verbreitetste Zahlensystem ist das Dezimalsystem (oder Zehner-System) mit Basis 10 und den Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9. Das Dezimalsystem stammt ursprünglich aus Indien. Der persische Mathematiker Muhammad ibn Musa al-Chwarizmi verwendete es in seinem Arithmetikbuch, das er im 8. Jahrhundert schrieb. Bereits im 10. Jahrhundert wurde das System in Europa eingeführt, damals noch ohne Null. Durchsetzen konnte es sich jedoch erst im 12. Jahrhundert mit der Übersetzung des genannten Arithmetikbuchs ins Lateinische.

• Im 17. Jahrhundert führte der Mathematiker Gottfried Wilhelm Leibniz mit der Dyadik das Dualsystem (ein binäres Zahlensystem) ein, also das Stellenwertsystem mit der Basis 2 und den Ziffern 0 und 1. Dieses wird vor allem in der Informationstechnik verwendet, da deren Logik allein auf Bits, welche entweder wahr oder falsch bzw. 1 oder 0 sind, ausgerichtet ist.

• Da große binäre Zahlen unübersichtlich lang sind, werden zur Darstellung oft Hexadezimalzahlen (auch Sedezimalsystem) verwendet, die mit der Basis 16 (und den Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E und F) arbeiten. Hexadezimale Zahlen und binäre Zahlen lassen sich leicht ineinander umwandeln, da 4 Stellen (= 1 Nibble) einer binären Zahl gerade einer Stelle einer hexadezimalen Zahl entsprechen.

• Mit BCD-Zahlen hat man ein System der Computertechnik, das bei 16-wertigen Gruppen nur 10 Werte tatsächlich nutzt. Es handelt sich somit um ein Dezimalsystem, das aber an das Binärsystem durch Nutzung der vom hexadezimalen her bekannten Stellen-Gliederung angepasst wurde.

• In der Computertechnik wird neben dem Binär- und Hexadezimalsystem auch das Oktalsystem zur Basis 8 (Ziffern 0–7, 3 Binärstellen = 1 Oktalstelle) verwendet.

• Das Vigesimalsystem verwendet als Basis die Zahl Zwanzig. Meistens wird es von Naturvölkern verwendet, die zum Zählen neben den Fingern auch noch die Zehen benutzen. Das analog zu erwartende Zahlensystem zur Basis fünf bei Völkern, die nur eine Hand zum Zählen benutzen, wurde aber bisher nirgendwo entdeckt. Aber siehe oben zum Unärsystem in Fünfer-Blöcken, das allerdings ein Additionsystem darstellt.

• Das Duodezimalsystem hat als Basis die 12. Wir finden es in der Rechnung mit Dutzend und Gros und im angelsächsischen Maßsystem (1 Shilling = 12 Pence) (siehe auch Alte Maße und Gewichte). Auch die Stundenzählung hat in diesem System ihren Ursprung. In vielen polytheistischen Religionen gab es 12 Hauptgötter, die sich z. B. im alten Ägypten in drei oberste Götter und 3*3 zugeordnete Götter aufteilten. (Die Drei galt als perfekte Zahl; siehe auch Dreifaltigkeit).

• Die Babylonier benutzten ein Zahlensystem mit der Basis 60 (Sexagesimalsystem; siehe auch Geschichte von Maßen und Gewichten).

• Die Indianer Südamerikas verwendeten Zahlensysteme zur Basis 4, 8 oder 16, da sie mit Händen und Füßen rechneten, jedoch die Daumen dabei nicht einbezogen.

• In Neuseeland war das System zur Basis 11 üblich, und einige Völker benutzen das System zur Basis 18.

[Bearbeiten] Konvertierungen

Manchmal benötigt man Konvertierungen zwischen Stellenwertsystemen. Ist das Dezimalsystem nicht beteiligt, kann man es als Zwischenwert verwenden, weil der Taschenrechner damit arbeitet.

[Bearbeiten] Basis 10 => Basis 5

Die Zahl 46 sei im Fünfersystem darzustellen. Es wird die Russische Bauernmultiplikation verwendet.

Basis 10 : 46

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| 46 | 1 |  // 46 : 5 = 9 Rest 1 (Entspricht 5 hoch 0 im Ergebnis)
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|  9 | 4 |  //  9 : 5 = 1 Rest 4 (Entspricht 5 hoch 1 im Ergebnis)
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|  1 | 1 |  //  1 : 5 = 0 Rest 1 (Entspricht 5 hoch 2 im Ergegnis)
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Basis 5 : 141
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Die linke Spalte beginnt mit der zu konvertierenden Zahl in der ersten Zeile. In den folgenden Zeilen dieser Spalte stehen die Quotienten der darüberliegenden Zeile dividiert durch 5 (Basis des neuen Zahlensystems). In der rechten Spalte steht jeweils der Rest aus der Division der linken Spalte ebenfalls mit 5. Alle Zahlen der rechten Seite stellen die Ziffern des Ergebnisses dar. Dabei ist die Zahl der untersten Zeile die höchstwertigste Ziffer im Ergebnis. Die Rechnung entspricht dem Horner Schema - rückwärts.

[Bearbeiten] Basis 5 => Basis 10

Es sei die Zahl 141 aus dem Fünfersystem ins Zehnersystem umzuwandeln. Das geht auch wieder mit der Russische Bauernmultiplikation.

Basis 5 : 141

----------
| 1 |  1 |  // 0 * 5 + 1 = 1  (entspricht 1 * 5 hoch 2)
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| 4 |  9 |  // 1 * 5 + 4 = 9  (entspricht 4 * 5 hoch 1)
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| 1 | 46 |  // 9 * 5 + 1 = 46 (entspricht 1 * 5 hoch 0)
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Basis 10 : 46
=============

In der linken Spalten stehen die Ziffern aus dem Fünfersystem (höchste Stelle von oben zuerst). In der rechten Spalte befinden sich die Zwischenergebnisse. Ein Zwischenergebnis entsteht durch Multiplikation des darüberstehenden Zwischenergebnisses mit 5 (Basis des Zahlensystems) plus links danebenstehende Ziffer des entsprechenden Stellenwertes im Fünfersystem. Die Tabelle entspricht dem Horner Schema.

[Bearbeiten] Literatur

• Georges Ifrah: Universalgeschichte der Zahlen. 2. Auflage. Campus-Verlag, Frankfurt/Main 1987, ISBN 3-593-33666-9.
• John D. Barrow: Warum die Welt mathematisch ist. Campus-Verlag, Frankfurt/Main 1993, ISBN 3-593-34956-6.

[Bearbeiten] Weblinks

• Zahlensysteme im Vergleich
• Online-Umrechner für verschiedene Zahlensysteme (JavaScript)
• Online-Umrechner für Dezimal-/römische Zahlen (JavaScript, GPL)
• Online-Tool zum gleichzeitigen Konvertieren der Zahlensysteme (PHP)
• Dualsystem