Wärmekapazität

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Die Wärmekapazität ist ein Begriff aus der Thermodynamik und bezeichnet das Vermögen eines Körpers, Energie in Form von thermischer Energie statistisch verteilt auf die Freiheitsgrade zu speichern. Sie wird im Allgemeinen durch das Formelzeichen c dargestellt. Per Definition gibt c die Wärmemenge Q (in Joule) an, die einem Körper zugeführt werden muss, um einen Anstieg der Temperatur T (in Kelvin) zu erreichen:

Dabei ist es vonnöten, dass der Prozess der Erwärmung quasi-statisch, das heißt sehr langsam erfolgt, so dass während des Prozesses irreversible Erscheinungen keine wesentliche Rolle spielen. Präziser sollte man deshalb von der Gleichgewichtswärmekapazität sprechen.

Im Allgemeinen spielen die äußeren Bedingungen, unter denen der Körper erwärmt wird, wie konstanter Druck oder konstantes Volumen, eine Rolle. Bei konstantem Druck wird beispielsweise gleichzeitig Arbeit in Form der thermischen Ausdehnung des Körpers geleistet, was auf Grund der Energieerhaltung zu einer größeren Wärmeaufnahme pro Temperatureinheit führt. Man unterscheidet deshalb die Wärmekapazität für ein konstantes Volumen C_V und für einen konstanten Druck C_p.

Ist der Körper physikalisch homogen, so ist es sinnvoll, die Wärmekapazität pro Masseneinheit (oder Stoffeinheit) anzugeben, welche dann als spezifische Wärmekapazität (beim Bezug auf 1 kg eines Stoffs) oder Molwärme bzw. molare Wärmekapazität (beim Bezug auf 1 mol eines Stoffs) bezeichnet wird. Erstere wird mit dem Formelsymbol c abgekürzt.

Die physikalische Einheit der Wärmekapazität ergibt sich aus ihrer Definition als [J/K], die der spezifischen Wärmekapazität je nach bezogener Stoffeinheit als [J/(K·kg)] oder [J/(K·mol)].

Auch die Temperatur des Stoffes hat einen Einfluss darauf, Beispiel:

• Wasser (flüssig) bei 20 °C:
• Wasser bei 15 °C:

Für feste Stoffe kann man in kleinen Temperaturbereichen eine mittlere spezifische Wärmekapazität verwenden.

Inhaltsverzeichnis 1 Bestimmung der Wärmekapazität 2 Allgemeine Beziehungen 3 Spezifische Wärmekapazität idealer Gase 4 Temperaturabhängigkeit der Wärmekapazität eines kristallinen Festkörpers 5 Negative Kapazität (Sterne) 6 Weblinks

[Bearbeiten] Bestimmung der Wärmekapazität

Eine häufig verwendete Methode zur Bestimmung der Wärmekapazität ist die Dynamische Differenzkalorimetrie (DSC). Wichtig für die Messung ist dabei, dass die zu untersuchende Probe in dem zu untersuchenden Temperaturbereich keine mit einer Wärmetönung einhergehenden Reaktion aufweist. Üblicherweise erfolgt zur exakten Berechnung eine Vergleichsmessung mit einem Saphir.

[Bearbeiten] Allgemeine Beziehungen

Zwischen den Wärmekapazitäten bei konstantem Druck C_p und bei konstantem Volumen C_V bestehen folgende allgemeine Beziehungen:

Hierbei ist der thermische Ausdehnungskoeffizient, die isotherme Kompressibilität, die isentrope Kompressibilität und T die absolute Temperatur (K).

[Bearbeiten] Spezifische Wärmekapazität idealer Gase

Die spezifische Wärmekapazität idealer Gase hängt nur von der Temperatur ab und ist von Druck unabhängig. Aus der idealen Gasgleichung folgt:

wobei die universelle Gaskonstante, M die mittlere molare Masse und R_S die spezifische Gaskonstante des Gases bezeichnet. Die Differenz c_p − c_V ist also temperaturunabhängig.

Beispiel (Wasserstoff (H₂) bei 20 °C und 1,013 bar)

• gleich bleibender Druck:
• gleich bleibendes Volumen:

Die Differenz statt erklärt sich daraus, dass Wasserstoff kein hundertprozentig ideales Gas ist.

Um die Wärmekapazität idealer Gase zu überschlagen, gibt es die Möglichkeit, sie über die Freiheitsgrade zu berechnen. Jedes Atom hat drei Freiheitsgrade, die Translationen in den drei Raumdimensionen.

Für Gase, deren Bestandteile einzelne Atome sind, gilt:

, also pro Freiheitsgrad.

Für Gase, deren Bestandteile Moleküle sind, gilt:

,

d. h. je nach Translations-, Rotationsfreiheitsgraden einhalb R_S, für die Vibrationsfreiheitsgrade einmal R_S. Dabei ist zu beachten, dass bei Raumtemperatur Rotationsfreiheitsgrade üblicherweise angeregt sind (IR-Spektrum), Vibrationsfreiheitsgrade häufig nur zu einem geringen Anteil (UV-Spektrum).

Beispiel H₂:

• f_trans = 3
• f_rot = 2
• 2f_vib = 2

und , ohne Vibrationen

und , mit Vibrationen

Man sieht also, dass Vibrationen hier nicht angeregt sind.

Sollte der Isentropenexponent des Idealen Gases bekannt sein, so lassen sich die Wärmekapazitäten aus der Kombination von c_p − c_v = R_S und der Formel

berechnen.

[Bearbeiten] Temperaturabhängigkeit der Wärmekapazität eines kristallinen Festkörpers

Debye-Temperatur ausgewählter Materialien

Material	Debye-Temperatur
Aluminium	426 K
Magnesium	406 K
Eisen	464 K
Kupfer	345 K
Zinn	195 K
Blei	96 K

Bei hohen Temperaturen gilt die Dulong-Petit'sche Regel, die eine konstante molare Wärmekapazität von C = 3R für den Festkörper vorhersagt.

Bei niedrigen Temperaturen versagt dieses Modell. In diesem Bereich sagt das Debye-Modell eine T³-Abhängigkeit der Wärmekapazität vorher. Nach dem Debye-Modell wird die molare Wärmekapazität in Abhängigkeit von der Temperatur durch nur eine Stoffgröße, die sogenannte Debye-Temperatur Θ_D, bestimmt:

Der Vorläufer des Debye-Modells ist das Einstein-Modell, welches insbesondere bei tiefen Temperaturen für praktische Anwendungen zu ungenau ist.

[Bearbeiten] Negative Kapazität (Sterne)

Die meisten physikalischen Systeme zeigen eine positive Wärmekapazität. Auch wenn das Gegenteil zunächst absurd erscheint, können Systeme auch eine negative Wärmekapazität aufweisen. Dazu zählen gravitierende Objekte wie zum Beispiel kollabierende Sterne, die sich beim Zusammenziehen (innere Energie verringert sich) erhitzen, oder sehr kleine Systeme (Cluster) aus einigen hundert Atomen nahe an einer Phasenumwandlung. Diese merkwürdige Eigenschaft steht im Zusammenhang mit der thermodynamischen Stabilität. Nur Systeme mit einer positiven Wärmekapazität können im thermodynamischen Sinne als stabil und diese damit auch als extensive Größe betrachtet werden.

[Bearbeiten] Weblinks

Verzeichnis von Datenbanken und Nachschlagewerken mit Wärmekapazitäten:

• Molare Wärmekapazität bei konstantem Druck C_p
• Molare Wärmekapazität bei konstantem Volumen C_V
• Spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck c_p
• Spezifische Wärmekapazität bei konstantem Volumen c_V