Quantenmechanische Messung

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In der Quantenmechanik ist jede Beobachtung einer messbaren Größe eines Systems mit einer Veränderung des Systems verbunden. Dies steht im Gegensatz zur klassischen Messung an makroskopischen Objekten, die grundsätzlich ohne Beeinflussung des Systems durch die Messung vorgenommen werden können. Sobald man in einem mikroskopischen Bereich eine Eigenschaft misst, wird dadurch der Zustand des Systems in Bezug auf diese Messgrösse neu festgelegt, auch wenn dieser vorher unbekannt war.

Ein weiterer grundlegender Unterschied zwischen der quantenmechanischen Messung und dem klassischen Fall tritt bei der Messung von mehr als einer Eigenschaft eines Messobjektes hervor. Im klassischen Fall ist es unwesentlich, ob z.B. zuerst die Messung der Körpergröße und im Anschluss daran das Gewicht eines Menschen gemessen wird. Die jeweiligen Ergebnisse sind im Rahmen der Messgenauigkeit von der Reihenfolge der Messungen unabhängig. In ähnlicher Weise kann davon ausgegangen werden, dass die erste Messung das Resultat der zweiten Messung nicht, oder nur unbedeutend, beeinflussen wird. Diese "gewohnten" Eigenschaften sind charakteristische Merkmale des klassischen Messprozesses.

Für den quantenmechanischen Messprozess haben diese "selbstverständlichen" Merkmale hingegen keine Gültigkeit mehr. Im Falle der beiden Messgrössen Ort und Impuls eines Teilchens ist es beispielsweise von wesentlicher Bedeutung, in welcher Reihenfolge sie gemessen werden und es ergeben sich im Rahmen der Messgenauigkeit jeweils unterschieldiche Ergebnisse abhängig davon, wie diese Reihenfolge vom Experimentator gewählt wurde. Eine Hinweis darauf, wie sehr eine Beeinflussung der zweiten Messung durch die erste Messung zu erwarten ist wird durch die Heisenbergsche Unschärferelation repräsentiert.

Inhaltsverzeichnis

1 Formale Darstellung des Messprozess
- 1.1 Die Zustandsreduktion (Kollaps der Wellenfunktion)
- 1.2 Bedingte Wahrscheinlichkeit für Orts- und Impulsmessungen
2 Referenzen
3 Literatur
4 Siehe auch

[Bearbeiten] Formale Darstellung des Messprozess

Die Zustände eines mikroskopischen Objektes werden in der Quantenmechanik formal durch die normierten Vektoren $\textstyle|\psi\rangle$ in einem abstrakten Vektoraum (Hilbertraum) beschrieben, d.h. das innere Produkt eines solchen Zustandes mit sich selbst ist 1. Ein derartiger Zustand repräsentiert beispielsweise ein Teilchen mit einem Freiheitsgrad in einer Raumdimension und der Hilbertraum $\textstyle\mathcal{H}$ ist in diesem Fall der Raum der quadratintegrablen Funktionen über den reellen Zahlen. Das Skalarprodukt in diesem Hilbertraum wird dabei durch zwei eckige Klammern bezeichnet, d.h. $\langle\phi|\psi\rangle$ für $|\phi\rangle,|\psi\rangle\in\mathcal{H}$ . Die Norm von $|\psi\rangle$ ist durch $\|\psi\|=\sqrt{\langle\psi|\psi\rangle}$ gegeben.

Der Hilbertraum wird als separabel angenommen, so dass eine abzählbare (oder abzählbar dichte) orthonormale Basis $\{|\phi_\alpha\rangle\}$ von Zustandsvektoren existiert, mit $\langle\phi_\alpha|\phi_\beta\rangle=\delta_{\alpha\beta}$ . In einem solchen Raum hat jeder Zustandsvektor eine eindeutige Darstellung (Zerlegung)

$|\psi\rangle=\sum_\alpha |\phi_\alpha\rangle\langle\phi_\alpha|\psi\rangle$ .

Im Rahmen der statistischen Interpretation der Quantenmechanik repräsentiert der Zusatandsvektor $\textstyle\psi$ ein Ensemble von identisch präparierten Teilchen. Eine grundlegende Aussage der Quantenmechanik ist, dass jeder messbaren Observablen $\mathcal{R}$ dieses Ensembles ein Hermitescher Operator $\hat R$ zugeordnet werden kann, wobei den Ergebnissen der Messungen dieser Observablen den reellen Eigenwerte $\textstyle r_\alpha$ des Operators entsprechen. Formal ergeben sich diese Eigenwerte aus der zugrundeliegenden Eigenwertgleichung dieser Operatoren, d.h.

$\hat R|\phi_\alpha\rangle = r_\alpha|\phi_\alpha\rangle.$

Einige in der Quantenmechanik vorkommenden Operatoren haben kein diskretes, sondern ein kontinuierliches bzw. gemischtes Spektrum von Eigenwerten. Im kontinuierlichen Fall wird für die folgende Schreibweise verwendet

$\hat R|r\rangle = r |r\rangle.$

In Bezug auf den quantenmechanischen Messprozess sind nun die sogenannten Projektorwertigen Maße (engl.: projection-valued measure, häufig kurz PVM) von Bedeutung. Mit einem solchen Operator kann ein beliebiger Teil des Eigenwertspektrums einer Observable herausgefiltert bzw. ausgewählt werden. Im Falle eines Teilchens im Einzelspaltexperiment wird beispielsweise durch den Spalt der Blende eine Menge von möglichen Teilchenbahnen aus dem kontinuierlichen Spektrum des Ortsoperators ausgesondert. Im Rahmen der Quantentheorie werden solche Projektionsoperatoren häufig durch eine Integraldarstellung repräsentiert

$\hat E_R(A)=\int_A \,|r\rangle\langle r|\,dr,$

wobei $A$ die betrachtete Teilmenge der Eigenwerte aus dem Spektrum des Operators ist, z.B. das Ortsintervall des Spaltes im Einzelspaltexperiment.

Für ein Quantenobjekt in einem beliebigen Zustand $|\psi\rangle$ ist die Wahrscheinlichkeit $\textstyle P_R(A)$ , für ein Messergebnis aus der Menge $A$ , gegeben durch (Born 1926):

$P_R(A)=||\hat E_R(A)\,\psi||^2=\langle \psi|\hat E_R(A)|\psi\rangle.$

Diese Formel entspricht der statistischen Interpretation der Quantenmechanik.^[1]

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beispielsweise der Ort $x$ eines Teilchens im Intervall $[a, b]$ zu finden ist ergibt demnach

$P_x([a,b]) = \int_{[a,b]} \,\langle \psi|x\rangle\langle x|\psi\rangle \,dx =\int_{a}^b|\psi(x)|^2\,dx,$

wobei die übliche Schreibweise $\psi(x)=\langle x|\psi\rangle$ für die Darstellung der Wellenfunktion im Ortsraum verwendet wurde.

Mit Hilfe der Projektionsoperatoren lässt sich im Rahmen der Quantenmechanik jeder Operator eindeutig in der sogenannten Spektraldarstellung repräsentieren

$\hat R= \int \, r\,|r\rangle\langle r|\, dr,$

im kontinuierlichen Fall, sowie

$\hat R=\sum_\alpha r_\alpha|\phi_\alpha\rangle\langle\phi_\alpha|$

im Falle des diskreten Spektrums.

Führt man an einem System die Messung der Observablen $\mathcal R$ sehr oft aus, und ist vor jeder Messung das System immer im gleichen Zustand $|\psi\rangle$ , so ist der Mittelwert $\langle\hat R\rangle$ der Messergebnisse (Erwartungswert) gegeben durch (Born 1926):

$\langle\hat R\rangle = \langle\psi|\hat R|\psi\rangle.$

Dieser Zusammenhang zwischen Messprotokoll und den im mathematischen Kalkül der Quantentheorie vorkommenden Größen bestätigt sich in allen Experimenten.

[Bearbeiten] Die Zustandsreduktion (Kollaps der Wellenfunktion)

Das fundamentale von Neumann-Lüders-Projektionspostulat macht eine Aussage darüber, wie der Zusandsvektor $|\psi\rangle$ eines quantenmechanischen Systems durch eine einmalige Messung verändert wird.^[1]^[2]

Projektionspostulat: Bezeichnen die Vektoren $|\psi\rangle$ und $|\psi'\rangle$ den Teilchenzustand jeweils vor und nach einer (idealen) Messung der Observablen $\mathcal{R}$ , so gilt die Gleichung

$|\psi'\rangle=\frac{\hat E_R(A)|\psi\rangle} {||\hat E_R(A)\psi||}$ .

Der Zustandsvektor des Objektes wird dabei auf einen Teilbereich des Hilbertraums reduziert und anschließend normiert. Die Wahrscheinlichkeit für eine solche Reduktion ist $\textstyle\langle \psi|\hat E_R(A)|\psi\rangle.$

Eine Besonderheit dieses Postulates ist, dass die Zustandsänderung diskontinuierlich und irreversibel ist und im Augenblick der Messung stattfindet. Die abrupte Veränderung durch diesen Eingriff ist eine der Kernaussagen des quantenmechanischen Messprozesses. Es ist genau der Punkt, der aus philosophischer Sicht den Bruch mit dem naiven Realismus fordert. Die Ablehnung des Realismus hat die Konsequenz, dass eine Observable im allgemeinen keinen bestimmten Wert hat, bevor er beobachtet wird. Dann heißt also, ihn messen, nicht, den Wert ermitteln den sie hat. In diesem Sinne bestimmt also der Messwert die Wirklichkeit und nicht umgekehrt. Heisenberg, Dirac und von Neumann verlangen als Messkriterium, dass bei Wiederholung der Messung dasselbe Ergebnis herauskommen muß. In diesem Fall ist also

$|\psi''\rangle\equiv|\psi'\rangle$ ,

was durch das Projektionspostulat respektiert wird.

Im Gegensatz dazu wird das "gewöhnliche" kausale Verhalten von Quantensystemen durch die kontinuierliche, reversible Zeitentwicklung der Schrödingergleichung beschrieben. Letztere ist daher grundsätzlich von der Zustandsänderung des Projektionspostulates zu unterscheiden.

Der Unterschied des quantenmechanischen Messprozesses zum klassischen Messprozess makroskopischer Grössen wird besonders deutlich, wenn unmittelbar nach der ersten Messung eine weitere (andere) Observable gemessen werden soll. Im makroskopischen Fall, wie beispielsweise bei der Messung der Körpergrösse und dem Gewicht eines Menschen, ist es völlig irrelevant in welcher Reihenfolge diese beiden Messungen vorgenommen werden, es kommt im Rahmen der Messgenauigkeit in beiden Fällen jeweils das gleiche Ergebnis heraus. Darüber hinaus ist die Beeinflussung der zweiten Messung durch die vorhergehende Messung in der klassischen Variante vernachlässigbar bzw. bedeutungslos.

Anders verhält es sich hingegen bei den hier betrachtetnen Messungen im mikroskopischen Bereich. Führt man beispielsweise eine Messung des Ortes durch und macht im Anschluss daran eine Impulsmessung, so ist nicht zu erwarten, dass die erste Messung die zweite unbeeinflusst lässt, d.h. es wird in diesem Fall allgemeinen die Ungleichheit $\scriptstyle|\psi''\rangle\neq|\psi'\rangle$ vorliegen. Es ist im quantenmechanischen Fall also maßgeblich, ob vor einer Impulsmessung beispielsweise eine Ortsmessung stattgefunden hat. Einen Hinweis darauf, bei welchen Observablenpaaren eine solche unkontrollierbare Beeinflussung unvermeidbar ist, kann mit Hilfe der sogenannten Kommutatorrelationen klassifiziert werden. Einen Hinweis über der Ausmaß dieser Störung der Messung wird durch die Heisenbergsche Unbestimmtheitsrelation gegeben.

Im Rahmen der Quantenmechanik ist für eine formale Beschreibung der gegenseitigen Abhängigkeiten der Messungen die bedingte Wahrscheinlichkeit geeignet.

[Bearbeiten] Bedingte Wahrscheinlichkeit für Orts- und Impulsmessungen

Beschreibt $|\psi'\rangle$ den Zustand des Quantenobjektes nach einer Zustandsreduktion durch die Messung des Ortes $\textstyle x$ . Dann gilt gemäß Postulat

$|\psi'\rangle=\frac{\hat E_x(A)|\psi\rangle} {||\hat E_x(A)\psi||}$ .

Bezeichnet man mit $B$ eine (Borel'sche) Menge auf der Impulsachse, so erhält man die Wahrscheinlichkeit einen Impuls aus der Menge $B$ zu erhalten durch

$P_{p,x}(B|A)=||\hat E_p(B)\,\psi'||^2=\langle \psi'|\hat E_p(B)|\psi'\rangle$ .

Die Indizes $\textstyle x$ und $\textstyle p$ auf der linken Seite der Gleichung bezeichnen darin, welche Observablen gemessen werden, hier der Ort und dann der Impuls des Teilchens. Ersetzt man in der Formel auf der rechten Seite die Wellenfunktion gemäß des obigen Postulates, so ergibt sich der folgende Ausdruck:

Bedingte Wahrscheinlichkeit:

$P_{p,x}(B|A)=\frac{||\hat E_p(B)\hat E_x(A)\,\psi||^2}{||\hat E_x(A)\,\psi||^2} =\frac{\langle\psi|\hat E_x(A)\hat E_p(B)\hat E_x(A)\,|\psi\rangle}{\langle\psi|\hat E_x(A)|\psi\rangle}$ .

Die explizite Form der bedingten Wahrscheinlichkeit ist eine mathematische Konsequenz des Projektionspostulates für die Zustandsreduktion und den formalen Regeln der Quantentheorie.

Im Gegensatz dazu ist eine Übertragung der klassischen Verbundwahrscheinlichkeiten in den Formalismus der Quantenmechanik nicht ohne weiteres möglich, da das 3. Kolmogoroff'sche Axiom der Wahrscheinlichkeitstheorie für nicht kommutierende Observablen nicht problemlos übertragbar ist.^[3] Diese Besonderheit hat zur Folge, dass der Satz von Bayes im Rahmen des quantenmechanischen Messprozesses allgemein keine Gültigkeit besitzt. Für Orts- und Impulsmessungen ist damit die Ungleichheit

$P_{p,x}(B|A)P_x(A)\neq P_{x,p}(A|B)P_p(B)$

zu erwarten. Die Ursache dafür liegt in den Kommutatorrelationen der Observablen begründet.

Ebene Welle im Spaltexperiment (Beispiel)

Bedingte Wahrscheinlichkeiten für eine Orts- und Impulsmessung in Abhängigkeit von den Messungenauigkeiten für Ort und Impuls. Die Funktion ist monoton steigend und geht mit Steigung 1 gegen Null.

Die Skala zur Messung des Ortes kann man speziell durch eine Zerlegung der $x$ -Achse in eine abzählbare Anzahl von disjunkten Intervalle $\textstyle A_{x_i}= (x_i-\Delta x/2,x_i+\Delta x/2]$ , mit $\textstyle x_i=i\Delta x$ und $\textstyle i$ ganzzahlig, erhalten. Durch diese Zerlegung kann beispielsweise die Öffnung der Blende in einem Spaltexperiment durch das Intervall $\textstyle A_0=(-\Delta x/2,\Delta x/2]$ der Breite $\textstyle\Delta x$ dargestellt werden. Die Spaltbreite entspricht der "Ungenauigkeit" $\textstyle\Delta x$ der Skala, und der Spalt befinde sich am Ort $x = 0$ . Die Präparation des Teilchens geschieht durch die Reduktion einer ebenen Welle am Spalt, so dass gemäß Postulat der Zustand

$\psi'(x)=\frac{1}{\sqrt{\Delta x}}$ ,

für $\textstyle |x|<\Delta x/2$ und 0 sonst, vorliegt. Damit ist der Einfluss auf das Teilchen durch die Ortsmessung erfolgt. Durch Fouriertransformation dieses neuen Zustands erhält man die Wahrscheinlichkeitsdichte für den Impuls, welche für die anschließende Impulsmessung grundlegend ist, d.h.

$|\psi'(p)|^2=\frac{2\hbar}{\pi\Delta x}\frac{|\sin(\frac{\Delta x}{2\hbar}p)|^2}{p^2}$ .

In diesem Stadium des Messprozesses wurde noch keine Impulsmessung vorgenommen. Es liegt lediglich eine Verschränkung von Messobjekt und Messgerät bezüglich der vorgenommenen Ortsbestimmung vor. Formal erkennt man das an der expliziten Abhängigkeit der Wellenfunktion des Teilchens von der Messgenauigkeit $\textstyle\Delta x$ des Messgerätes.

Die Wahrscheinlichkeit $\textstyle P(\Delta p|\Delta x)$ , einen Impuls im Intervall $\textstyle\Delta p$ bei $\textstyle p=0$ zu finden, erhält man formal durch Born's Regel (s.o.)

$P(\Delta p|\Delta x) = \int_{-\Delta p/2}^{\Delta p/2} |\psi'(p)|^2 dp.$

Die Berechnung dieses Integrals ergibt

$P(\Delta p|\Delta x) = \frac{2}{\pi}\left[\text{Si}(\pi\xi)-\frac{2}{\pi}\frac{\sin(\frac{\pi\xi}{2})^2}{\xi}\right].$

In dieser Formel ist $\textstyle Si(x)$ das sog. sine-integral und

$\xi=\frac{\Delta x\Delta p}{h}$

ein Parameter mit der Einheit 1. Die bedingte Wahrscheinlichkeit für den Impuls ist in diesem Experiment ausschließlich von dem Produkt der (Un)Genauigkeiten der Skaleneinteilungen abhängig und diesbezüglich streng monoton steigend (vgl. Abbildung).

Wählt man beispielsweise eine Messanordnung mit Orts- und Impulsgenauigkeiten aus, die der Bedingung $\textstyle\Delta x\Delta p=h$ im Falle der Unschärferelation genügen, so wird diese (ideale) Messung nur mit einer Wahrscheinlichkeit von $\textstyle P\approx 0.77$ erfolgreich sein können, da die Impulsmessung grundsätzlich durch die vorhergehende Ortsbestimmung gestört wird (vgl. Abbildung).

[Bearbeiten] Referenzen

↑ ^a ^b J. v. Neumann, Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik, Springer (1932, 1968, 1996).
↑ G. Lüders, Über die Zustandsänderung durch den Messprozess, Ann. Phys. (Leipzig), 8 (1951) 322-328.
↑ E. Nelson, Dynamical Theories of Brownian Motion, Princeton University Press, Princeton (1967).

[Bearbeiten] Literatur

Kurt Baumann, Roman U. Sexl: Die Deutungen der Quantentheorie. 3., überarbeitete Auflage. Vieweg, Braunschweig 1987. (Facetten der Physik ; Band 11) Kritische Überlegungen ergänzt mit berühmten Originalabhandlungen in deutscher Übersetzung von Max Born, Werner Heisenberg, Albert Einstein, Niels Bohr, Erwin Schrödinger, Wladimir Fock, David Bohm, John Bell, Bryce DeWitt - ISBN 3-528-28540-0

Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë: Quantenmechanik. 2. Auflage. De Gruyter, Berlin 1999, ISBN 3-11-016458-2

[Bearbeiten] Siehe auch

Kategorien: Quantenmechanik | Optische Messtechnik

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