Lagrange-Formalismus

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Der Lagrange-Formalismus ist eine 1788 von Joseph Louis Lagrange eingeführte Formulierung der klassischen Mechanik, in der die Dynamik eines Systems durch eine einzige skalare Funktion, die Lagrangefunktion, beschrieben wird. Die Bewegungsgleichungen folgen als sogenannte Lagrangegleichungen aus dem Hamiltonschen Prinzip der stationären Wirkung.

Diese Betrachtungsweise vereinfacht viele physikalische Probleme, denn im Gegensatz zur Newton’schen Formulierung der Bewegungsgesetze lassen sich im Lagrange-Formalismus Zwangsbedingungen relativ einfach durch das explizite Ausrechnen der Zwangskräfte oder die Wahl geeigneter Koordinaten $q i$ (generalisierte Koordinaten) berücksichtigen.

Inhaltsverzeichnis

1 Lagrangesche Methode erster Art
- 1.1 Beispiel (Fallmaschine nach Atwood)
2 Lagrangesche Methode zweiter Art
3 Zyklische Variable
4 Erweiterung auf nicht-konservative Systeme
- 4.1 Beispiel
5 Erweiterung auf Systeme mit Nebenbedingungen
6 Erweiterung auf Felder
7 Frei fallende Teilchen in der allgemeinen Relativitätstheorie
8 Literatur
9 Weblinks

[Bearbeiten] Lagrangesche Methode erster Art

Man betrachte $N$ Punktteilchen im $\mathbb{R}^3$ mit den Ortsvektoren $\mathbf{r}_i$ . Diese seien durch s von einander unabhängige Zwangsbedingungen $F k$ der Form $F_k (\mathbf{r}_1,...,\mathbf{r}_N,t)=0$ eingeschränkt. Dadurch werden die Lagen der Teilchen auf eine $f = 3 N - s$ -dimensionale Mannigfaltigkeit eingeschränkt.

Da nach dem D’Alembertschen Prinzip Zwangskräfte keine Arbeit verrichten, steht der Gradient $\nabla F_k$ senkrecht auf dieser Mannigfaltigkeit. Die Zwangskraft Z selber kann man dann durch eine Linearkombination dieser Vektoren darstellen:

$\mathbf Z = \sum_{i=1}^N \sum_{k=1}^s \lambda_k \nabla_i F_k$

Damit kann man die Bewegungsgleichung schreiben als:

$m_i \ddot{\mathbf r}_i = - \nabla_i V + \sum_{k=1}^s \lambda_k \nabla_i F_k,\qquad i=1,...,N$

Die $m i$ sind die Massen der $N$ Punktteilchen, $V$ ist die potentielle Energie. Dies sind 3N+s Gleichungen für die 3N Koordinaten der r_i sowie für die s Lagrangemultiplikatoren λ_k. Somit ist das Gleichungssystem lösbar.

[Bearbeiten] Beispiel (Fallmaschine nach Atwood)

Man betrachte zwei Punktmassen im Gravitationsfeld der Erde, die über eine Rolle in der Höhe h aufgehängt und durch ein Seil der Länge l verbunden seien. Die Zwangsbedingung lautet in diesem Fall:

F : = y 1 + y 2 + l - 2 h = 0

Wird das Seil berücksichtigt, das auf der Rolle (Rollenradius r) liegt, dann ergibt sich:

$F:=y_1 + y_2 + l - 2h - \pi\ r = 0$

Die potentielle Energie V berechnet sich zu:

$V := m_1 \mathbf g y_1 + m_2 \mathbf g y_2$

Für die Gradienten erhält man

$\frac{\partial F}{\partial y_1 } = 1,\qquad \frac{\partial F}{\partial y_2 } = 1$

$\frac{\partial V}{\partial y_1 } = m_1\mathbf g,\qquad \frac{\partial V}{\partial y_2 } = m_2\mathbf g$

Dies führt auf das System der Lagrange-Gleichungen 1. Art:

$\begin{matrix} m_1 \ddot y_1 &=& m_1\mathbf g + \lambda\\ m_2 \ddot y_2 &=& m_2 \mathbf g + \lambda\\ y_1 + y_2 + l - 2h &=& 0 \end{matrix}$

Dies kann man auflösen und erhält z. B. für bekannte Anfangsbedingungen:

$\begin{matrix}y_1(t) &=& \frac {1}{2}{m_1 - m_2 \over {m_1 + m_2}}\mathbf g t^2 + \dot y_{1,0}t + y_{1,0}\\ \lambda &=& -2 \mathbf g \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}\end{matrix}$

[Bearbeiten] Lagrangesche Methode zweiter Art

[Bearbeiten] Herleitung der Lagrange-Gleichungen

Die (Euler-)Lagrange-Gleichungen erhält man durch Variation des mit der Lagrangefunktion gebildeten Wirkungsintegrals im Hamiltonschen Prinzip. Dazu variiert man die generalisierten Koordinaten mit

$q \rightarrow q + \delta q$

$\dot q \rightarrow \dot q + \delta \dot q$

Das Hamiltonsche Prinzip wird dann zu

$\delta W = \delta \int dt L(q,\dot q, t) = \int dt (L (q + \delta q, \dot q + \delta \dot q, t) - L(q,\dot q, t))\stackrel{!}{=}0\,.$ .

Eine Näherung in erster Ordnung lautet für eine gewöhnliche Funktion f(x,y)

$f(x + dx, y + dy) \approx f + \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy$

also

$df = f(x + dx , y + dy) - f(x,y) = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy$ .

In erster Ordnung ergibt sich die Variation des Integrals also zu

$\int dt \left(\frac{\partial L}{\partial q}\delta q + \frac{\partial L}{\partial \dot q}\delta \dot q \right) = \int dt \left(\frac{\partial L}{\partial q}\delta q + \frac{\partial L}{\partial \dot q} \frac{d}{dt} \delta q \right)$

Nun führt man eine partielle Integration in dem Term aus, der die Ableitung nach der Zeit enthält.

$\int_{t_1}^{t_2} dt \left(\frac{\partial L}{\partial \dot q} \frac{d}{dt} \delta q \right) = \left[\frac{\partial L}{\partial \dot q}\delta q\right]_{t_1}^{t_2} - \int_{t_1}^{t_2} \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot q} \delta q \, dt$

Hierbei wird benutzt, dass

$\,\delta q(t_1) = \delta q(t_2) = 0$

ist, da Anfangs- und Endpunkt festgehalten werden. Daher gilt für die Randterme

$\left[\frac{\partial L}{\partial \dot q}\delta q\right]_{t_1}^{t_2} = 0$

Damit resultiert schließlich

$\int dt \left(-\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot q} + \frac{\partial L}{\partial q} \right)\delta q\stackrel{!}{=} 0\,.$

Da nun $δ q$ als Faktor des gesamten Integrals auftritt und beliebig ist, kann das Integral nur dann nach dem Variationsprinzip verschwinden, wenn der Integrand selbst verschwindet. Es folgen die Lagrange-Gleichungen (manchmal auch Euler-Lagrange-Gleichungen genannt):

$\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} - \frac{\partial{L}}{\partial q_i}\stackrel{!}{=} 0\,.$

Für jede generalisierte Koordinate $q i$ (und die zugehörige generalisierte Geschwindigkeit $\dot{q}_i$ ) gibt es eine solche Gleichung. Die Lagrange-Gleichungen bilden ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen zweiter Ordnung.

In der Mechanik ist die Lagrange-Funktion $\,L = T - V$ , wobei $T$ die kinetische Energie und $V$ die potentielle Energie des Systems sind.

[Bearbeiten] Zusammenhang mit Pfadintegralen in der Quantenmechanik

Richard Feynman hat als erster diese Herangehensweise auch für die Herleitung der Gleichungen der Quantenmechanik verwendet. In der klassischen Physik ergeben sich die oben beschriebenen Lagrange-Gleichungen aus der Forderung, dass das Wirkungsintegral (bei dem über die Lagrange-Funktion integriert wird) stationär wird (durch die Variation des Integrals erhält man die Differenzialgleichungen). In Feynmans Pfadintegral-Formalismus ist die quantenmechanische Wahrscheinlichkeitsamplitude, das ein System zwischen Anfangs- und Endbedingungen einen bestimmten Pfad einschlägt proportional $\exp (\frac{i W} {\hbar})$ mit dem Wirkungsintegral W. Pfade in der Umgebung des klassischen Pfades, für den die Variation von W verschwindet, liefern dabei meist die Hauptbeiträge, da sich in ihrer Umgebung die Beiträge mit fast gleichen Phasenfaktoren addieren. Mehr Details sind im unten angegebenen Lehrbuch online nachzulesen.

[Bearbeiten] Beispiel

Ein-Massen-Schwinger als harmonischer Oszillator

Für einen eindimensionalen harmonischen Oszillator gilt

$T=\frac{1}{2} m \dot{x}^2$

$V=\frac{1}{2} c x^2$

Mit $x$ als generalisierter Koordinate folgt die Bewegungsgleichung direkt aus der Euler-Lagrange-Gleichung. Die Lagrangefunktion ist

$L= T - V = \frac{1}{2}m\dot{x}^2-\frac{1}{2}cx^2$

und damit

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(m\dot{x}\right) + c x = 0 \Leftrightarrow \ddot{x} = -\frac{c}{m} x$

Die allgemeine Lösung dieser Gleichung ist

$\,x(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)$ ,

wobei $\omega =\sqrt{c/m}$ die Kreisfrequenz ist und A,B reelle Konstanten sind.

[Bearbeiten] Zyklische Variable

Wenn die Lagrangefunktion $L$ nicht von einer Koordinate $q$ abhängt, sondern nur von der zugehörigen Geschwindigkeit $\dot{q}\,,$ dann nennt man $q$ zyklisch oder zyklische Koordinate oder zyklische Variable. Der zur zyklischen Variablen $q$ konjugierte Impuls

$p= \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}$

ist eine Erhaltungsgröße: ihr Wert ändert sich nicht während der Bewegung.

Denn weil die Lagrangefunktion nicht von $q$ abhängt, gilt

$\frac{\partial{L}}{\partial q} = 0\,.$

Dann besagt die Euler-Lagrangegleichung

$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = 0\,,$

dass die Zeitableitung des zugehörigen konjugierten Impulses verschwindet.

Allgemeiner gehört nach dem Noether-Theorem zu jeder kontinuierlichen Symmetrie der Wirkung eine Erhaltungsgröße und umgekehrt zu jeder Erhaltungsgröße eine kontinuierliche Symmetrie der Wirkung. Bei einer zyklischen Variablen ist die Wirkung invariant unter der Verschiebung von $q$ um eine beliebige Konstante, $q\rightarrow q+c\,.$

[Bearbeiten] Erweiterung auf nicht-konservative Systeme

Für nicht-konservative Systeme (Systeme, bei denen nicht alle Kräfte Potentialkräfte sind) lassen sich die Lagrangeschen Bewegungsgleichungen wie folgt formulieren:

${d\over dt}{\partial{L}\over \partial{\dot{q}_i}}-{\partial{L}\over \partial q_i} = Q_i^*$

bzw.

${d\over dt}{\partial{T}\over \partial{\dot{q}_i}}-{\partial{T}\over \partial q_i} = Q_i$

T

: kinetische Energie

$\,Q_i$ : generalisierte Kräfte als Summe der nicht-konservativen Kräfte und der Potentialkräfte

$Q_i^*$ : generalisierte Kräfte ausschließlich nicht-konservativer Natur

Die generalisierten Kräfte bestimmt man aus der virtuellen Arbeit der eingeprägten Kräfte

$\delta W = \sum_{i} Q_i\;\delta q_i$

durch Vergleich der Koeffizienten von $δ q i$ .

[Bearbeiten] Beispiel

Die Achse einer Aufzugtrommel wird durch ein Moment M angetrieben. Die Masse der Last beträgt m, das Massenträgheitsmoment der Trommel ist J. Der Radius der Trommel ist r.

Zwischen den Koordinaten x und φ besteht folgende Beziehung:

$x = r \varphi$

$\Rightarrow \;\dot{x} = r \dot{\varphi}$

$\Rightarrow \;\delta x = r \delta \varphi$

Die kinetische Energie ist:

$T = \frac{1}{2} \left( m \dot{x}^2 + J \dot{\varphi}^2 \right) = \frac{1}{2} \left( m r^2 + J \right) \dot{\varphi}^2$

Die virtuelle Arbeit der eingeprägten Kräfte ist

$\delta W = -mg\,\delta x + M\,\delta \varphi = (-mgr + M)\,\delta \varphi$

$\Rightarrow \;Q = -mgr + M$

Daraus folgt schließlich die Bewegungsgleichung

$\left( m r^2 + J \right) \ddot{\varphi} = -mgr + M$

Die Auflösung dieser Gleichung nach der Winkelbeschleunigung ergibt

$\ddot {\varphi}=\frac{-mgr + M}{ m r^2 + J }$

[Bearbeiten] Erweiterung auf Systeme mit Nebenbedingungen

Zwischen den generalisierten Koordinaten mögen noch n Nebenbedingungen folgender Form existieren:

$\sum_i a_{ki}(q_1, q_2 ... q_n, \dot{q}_1, \dot{q}_2 ... \dot{q}_n, t)\;\delta q_i = 0$

(Nur bei holonomen Systemen lassen sich mit Hilfe der Nebenbedingungen überzählige Koordinaten eliminieren.)

Für Systeme mit Nebenbedingungen lassen sich die Lagrangeschen Bewegungsgleichungen wie folgt formulieren:

${d\over dt}{\partial{T}\over \partial{\dot{q}_i}}-{\partial{T}\over \partial q_i} = Q_i + \sum_k \lambda_{k} a_{ki}$

λ k

: beim Integrationsprozess zu bestimmende Lagrangesche Multiplikatoren

Siehe auch: Hamilton-Formalismus

[Bearbeiten] Erweiterung auf Felder

In der Feldtheorie ergibt sich die Bewegungsgleichung aus dem Hamiltonschen Prinzip für Felder zu

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi_i} - \sum_{j=1}^3 \frac{d}{dx_j} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\frac{\partial \phi_i}{\partial x_j} )}- \frac{d}{dt} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\frac{\partial \phi_i}{\partial t}} = \frac{\partial\mathcal L}{\partial\phi_i} - {\partial_\mu} \left(\frac{\partial\mathcal L}{\partial (\partial_\mu \phi_i )} \right)\equiv 0$

wobei $Φ = Φ(x, y, z, t)$ das betrachtete Feld und $\mathcal{L}=\mathcal{L}\left(\phi, \frac{\partial \phi}{\partial x}, \frac{\partial \phi}{\partial y}, \frac{\partial \phi}{\partial z}, \frac{\partial \phi}{\partial t}, x,y,z,t \right)$ die Lagrange-Dichte sind.

Man kann dies in Kurzform auch schreiben als

$\frac{\delta \mathcal L}{\delta\phi}\equiv 0\,,$

mit der so definierten Variationsableitung $\frac{\delta\mathcal L}{\delta \phi}:=\frac{\partial\mathcal L}{\partial\phi_i} - {\partial_\mu} \left(\frac{\partial\mathcal L}{\partial (\partial_\mu \phi_i )} \right)$ .

Der Lagrangeformalismus ist auch der Ausgangspunkt vieler Formulierungen der Quantenfeldtheorie.

[Bearbeiten] Frei fallende Teilchen in der allgemeinen Relativitätstheorie

In der allgemeinen Relativitätstheorie durchlaufen frei fallende Teilchen Weltlinien längster Zeit: zwischen zwei (genügend nah beieinander liegenden) Ereignissen $A$ und $B$ vergeht auf einer mitgeführten Uhr mehr Zeit, als auf allen anderen Weltlinien durch diese Ereignisse. Sei $s$ ein entlang des Pfades monoton wachsender Laufparameter, so ergibt sich die verstrichene Zeit zu

$\tau_{AB}=\int_{\underline{s}}^{\overline{s}}L\bigl(s,x(s),\frac{\mathrm dx}{\mathrm ds}\bigr)\,\mathrm d s\ ,\ x(\underline{s})=A\,,\ x(\overline{s})=B\,,$

mit der Lagrangefunktion

$L(s,x,\dot{x})= \sqrt{g_{mn}(x)\, \dot{x}^m \,\dot{x}^m}\,.$

Dabei sind $g m n (x)$ die Komponentenfunktionen der Metrik. Wir rechnen einfachheitshalber in Maßsystemen, in denen die Lichtgeschwindigkeit dimensionslos ist und den Wert $c = 1$ hat, und verwenden die Einsteinsche Summenkonvention.

Der zu $x k$ konjugierte Impuls ist

$\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^k}=\frac{g_{kl}\,\dot{x}^l}{\sqrt{g_{mn}\,\dot{x}^m \,\dot{x}^n}}$

und die Euler-Lagrange-Gleichungen lauten

$0=\frac{\mathrm d }{\mathrm ds} \frac{g_{kl}\,\dot{x}^l}{\sqrt{g_{mn}\,\dot{x}^m\,\dot{x}^n}} - \frac{1}{2} \frac{\partial_k g_{rs}\,\dot{x}^r\,\dot{x}^s}{\sqrt{g_{mn}\,\dot{x}^m \,\dot{x}^n}}$

$\qquad\qquad =g_{kl}\,\frac{\mathrm d }{\mathrm ds} \frac{\dot{x}^l}{\sqrt{g_{mn}\,\dot{x}^m\,\dot{x}^n}} + \frac{\dot{x}^r\,\partial_r g_{ks}\,\dot{x}^s}{\sqrt{g_{mn}\,\dot{x}^m \,\dot{x}^n}} - \frac{1}{2} \frac{\partial_k g_{rs}\,\dot{x}^r\,\dot{x}^s}{\sqrt{g_{mn}\,\dot{x}^m \,\dot{x}^n}}\,.$

Verwenden wir hier als Abkürzung das Christoffel-Symbol

$\Gamma_{rs}{}^l = \frac{1}{2}g^{lm}\bigl(\partial_r g_{sm}+\partial_s g_{rm}-\partial_m g_{rs}\bigr)\,,$

so erweist sich die Weltlinie längster Dauer als Gerade: die Richtung der Tangente an die Weltlinie

$u^l = \frac{\dot{x}^l}{\sqrt{g_{mn}\,\dot{x}^m \,\dot{x}^n}}$

ändert sich nicht bei Parallelverschiebung längs der Weltlinie

$0=g_{kl}\bigl(\frac{\mathrm d }{\mathrm ds} u^l + \dot{x}^r\, \Gamma_{rs}{}^l\,u^s\bigr)\,.$

Die Parametrisierung wird nicht festgelegt. Verfügen wir so über sie, daß der Tangentialvektor überall gleich lang ist, dann ist $\sqrt{g_{mn}\,\dot{x}^m \,\dot{x}^n}$ konstant und der Tangentialvektor geht beim Durchlaufen der Weltlinie in sich über. Sie erfüllt die Geodätengleichung

$0=\frac{\mathrm d^2 x^l }{\mathrm ds^2} + \Gamma_{rs}{}^l(x)\, \frac{\mathrm d x^r}{\mathrm d s}\,\frac{\mathrm d x^s}{\mathrm d s}\,.$

[Bearbeiten] Literatur

Lehrbücher der klassischen Mechanik wie Herbert Goldstein Klassische Mechanik, Akademische Verlagsanstalt 1985
Cornelius Lanczos The Variational Principles of Mechanics, Dover
Kuypers Klassische Mechanik, VCH

zu Wegintegralen:

Hagen Kleinert, Pfadintegrale in Quantenmechanik, Statistik und Polymerphysik. Mannheim 1993
Hagen Kleinert, Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets, 4. Auflage, World Scientific (Singapore, 2006) (auch online lesbar hier)

[Bearbeiten] Weblinks

Kategorien: Theoretische Physik | Klassische Mechanik

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