Virtuelle Arbeit

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Virtuelle Arbeit ist ein Begriff der Analytischen Mechanik bzw. der Technischen Mechanik und bezeichnet die Arbeit, die die eingeprägten Kräfte an einem System bei einer virtuellen Verrückung leisten. Unter einer virtuellen Verrückung versteht man eine Gestalt- oder Lageänderung des Systems, die mit den Bindungen (z. B. Lager) verträglich, sonst aber willkürlich und außerdem infinitesimal klein ist. Nach dem Prinzip der virtuellen Arbeit verschwindet die virtuelle Arbeit in statischen Systemen.

Gelenkig gelagerter Winkelhebel, die virtuelle Verrückung ist durch den Drehwinkel δΦ charakterisiert.

[Bearbeiten] Beispiel

An einem Winkelhebel, der auf einer Achse frei drehbar gelagert ist, greifen 2 eingeprägte Kräfte F₁ und F₂ an. Die virtuellen Verschiebungen der Kraftangriffspunkte sind δx₁ und δx₂. Die virtuelle Arbeit der eingeprägten Kräfte ist damit

F₁δx₁ - F₂δx₂ = 0

Weil der Winkelhebel als starr angesehen wird, sind die Größen δx₁ und δx₂ nicht unabhängig voneinander. Ihre Abhängigkeit kann man durch die Variation der generalisierten Koordinate Φ, δΦ, ausdrücken:

δx₁ = a₁δΦ und δx₂ = a₂δΦ

Damit wird die virtuelle Arbeit:

(F₁a₁ - F₂a₂) δΦ = 0

Wegen der Willkürlichkeit von δΦ kann die linke Seite dieser Gleichung nur dann verschwinden, wenn der Klammerausdruck verschwindet, woraus letztlich folgt:

F₁a₁ = F₂a₂

[Bearbeiten] Das Prinzip der virtuellen Arbeit für bewegte Systeme

Das Prinzip der virtuellen Arbeit kann auf bewegte Systeme erweitert werden, wenn man zu den eingeprägten Kräften die negativen Massenbeschleunigungen hinzunimmt (D'Alembertsches Prinzip). Dieses erweiterte Prinzip besagt, dass sich ein dynamisches System genau dann im dynamischen Gleichgewicht befindet, falls die virtuelle Arbeit δW für beliebige virtuelle Verschiebungen verschwindet. Aus der Bedingung δW ≡ 0 lassen sich Impuls- und Drallsatz herleiten, weshalb das Prinzip der virtuellen Arbeit als fundamentales Axiom der klassischen Mechanik betrachtet werden kann.

[Bearbeiten] Prinzip der virtuellen Arbeit in konservativen Systemen

In konservativen Systemen sind alle eingeprägten Kräfte von einem Potential V ableitbar. In diesem Falle lässt sich das Prinzip der virtuellen Arbeit in der Form

δV = 0

darstellen. Hierbei ist das Symbol δ als Variationszeichen im Sinne der Variationsrechnung aufzufassen. δV bedeutet damit die erste Variation der Potentiellen Energie.