Klassisches Runge-Kutta-Verfahren

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Das klassische Runge-Kutta-Verfahren (nach Carl Runge und Martin Wilhelm Kutta) ist ein spezielles explizites 4-stufiges Runge-Kutta-Verfahren zur numerischen Lösung von Anfangswertproblemen (Gewöhnliche Differentialgleichungen). Runge hat als erster (1895) ein mehrstufiges Verfahren angegeben und Kutta die allgemeine Form expliziter s-stufiger Verfahren.

Das klassische Runge-Kutta-Verfahren verwendet – wie die weitaus meisten numerischen Lösungsverfahren für Differentialgleichungen – den Ansatz, Ableitungen (Differentialquotienten) durch (endliche) Differenzenquotienten zu ersetzen. Die dabei bei nichtlinearen Funktionen notwendigerweise auftretenden Fehler (es werden sämtliche höheren Glieder der Taylor-Entwicklung vernachlässigt) können durch geeignete Kombinationen verschiedener Differenzquotienten teilweise kompensiert werden. Das Runge-Kutta-Verfahren ist nun eine solche Kombination, die Diskretisierungsfehler bis zur dritten Ableitung kompensiert.

Inhaltsverzeichnis

1 Details
- 1.1 Systeme von Differentialgleichungen
2 Literatur
3 Weblinks

[Bearbeiten] Details

Sei

y' = f (x, y)

eine gewöhnliche Differentialgleichung 1. Ordnung mit den Anfangsbedingungen

y (x 0) = y 0

und sei weiter h die gewünschte Schrittweite. Dann wird der angenäherte Wert von $y (x 0 + h) = y (x 1)$ nach Runge wie folgt errechnet:

$\begin{array}{rclrcl} &&&y'_0 &=& f(x_0,y_0)\\[0.7em] y_A &=& y_0+\frac{h}{2} \cdot y'_0& y'_A &=& f(x_0+\frac{h}{2},y_A)\\[0.3em] y_B &=& y_0+\frac{h}{2} \cdot y'_A& y'_B &=& f(x_0+\frac{h}{2},y_B)\\[0.3em] y_C &=& y_0+h \cdot y'_B& y'_C &=& f(x_0+h,y_C)\\[0.7em] y_1 &=& y_0+h \cdot \frac{1}{6}\left(y'_0+2(y'_A+y'_B)+y'_C\right) \end{array}$

Mit den neuen Werten x₁ und y₁ kann dann der nächste Rungeschritt durchgeführt werden. Die erzielte Genauigkeit liegt – bei genügend glattem $f (x, y)$ – in der Größenordnung von h⁴.

[Bearbeiten] Systeme von Differentialgleichungen

Das obige Schema kann leicht auch auf Systeme von $n$ Differentialgleichungen $y'_i=f(x,y_1,\dots,y_i,\dots,y_n)$ erweitert werden. Es ist nur für jede abhängige Variable eine eigene Spalte $y i$ resp. $y i'$ einzurichten und für jede die obigen Schritte auszuführen unter Verwendung der jeweiligen $y i$ der vorangegangenen Zeile.