Isogonal konjugierte Punkte

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Die Definition isogonal konjugierter Punkte in Bezug auf ein Dreieck ergibt sich aus dem folgenden Satz:

Es sei ABC ein Dreieck und P ein Punkt, der nicht auf den Dreiecksseiten liegt. Wir spiegeln die Geraden AP, BP und CP an den Winkelhalbierenden der Dreieckswinkel α, β bzw. γ. Dann schneiden sich die Spiegelbilder in einem neuen Punkt.

Dieser neue Punkt heißt der zu P isogonal konjugierte Punkt bezüglich des Dreiecks ABC (die Klausel "bezüglich des Dreiecks ABC" lässt man meist weg, wenn keine Verwechslung zu befürchten ist, also wenn nur ein Dreieck im Spiel ist). Bezeichnen wir den zu P isogonal konjugierten Punkt mit Q, dann ist der zu Q isogonal konjugierte Punkt wiederum der Punkt P. Daher kann man die Punkte P und Q als zueinander isogonal konjugierte Punkte bezeichnen.

Dabei ist anzumerken, dass der Begriff "Punkt" hier auf die projektive Ebene auszuweiten ist. Es kann nämlich vorkommen, dass die Spiegelbilder der Geraden AP, BP und CP an den Winkelhalbierenden der Dreieckswinkel α, β bzw. γ zueinander parallel sind; dann sagt man, dass sie sich in einem unendlich fernen Punkt (kurz: Fernpunkt) schneiden. Der Punkt Q ist also in diesem Fall ein Fernpunkt. (Man kann zeigen, dass dieser Fall - dass Q ein Fernpunkt ist - genau dann eintritt, wenn der Punkt P auf dem Umkreis des Dreiecks ABC liegt.)

[Bearbeiten] Beispiele

Es gibt genau vier Punkte, die bezüglich des Dreiecks ABC zu sich selbst isogonal konjugiert sind: der Inkreismittelpunkt und die drei Ankreismittelpunkte.
Der Umkreismittelpunkt ist isogonal konjugiert zum Höhenschnittpunkt.
Der Schwerpunkt ist isogonal konjugiert zum Lemoinepunkt.
Der erste und der zweite Brocard-Punkt sind zueinander isogonal konjugiert.

[Bearbeiten] Eigenschaften

Hat ein Punkt die trilinearen Koordinaten $x : y : z$ , so sind die trilinearen Koordinaten des isogonal konjugierten Punktes gegeben durch

$\frac{1}{x} : \frac{1}{y} : \frac{1}{z}$ .

Die Fußpunktdreiecke zweier isogonal konjugierter Punkte haben denselben Umkreis.
Bildet man die Punkte einer Geraden auf die zugehörigen isogonal konjugierten Punkte ab, so entsteht ein Kegelschnitt, der durch die Ecken des gegebenen Dreiecks geht. Der Typ dieses Kegelschnitts hängt davon ab, wie die gegebene Gerade und der Umkreis des Dreiecks liegen: Schneidet die Gerade den Umkreis, ergibt sich eine Hyperbel. Ist die Gerade eine Tangente des Umkreises, so entsteht eine Parabel. Falls die Gerade keine gemeinsamen Punkte mit dem Umkreis hat, erhält man eine Ellipse.