Brocard-Punkte

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Brocard-Punkte sind spezielle Punkte in einem Dreieck. Henri Brocard war ein französischer Mathematiker und lebte von 1845 bis 1922. Am bekanntesten wurde er für den folgenden Satz:

In einem Dreieck ABC mit den Seiten a, b, c gibt es genau einen Punkt P derart, dass die Strecken AP, BP, CP der Reihe nach mit den Seiten c, a, b den gleichen Winkel ω einschließen, d. h. dass die Winkelgleichung $\angle PBC = \angle PCA = \angle PAB$ gilt. Dieser Punkt P heißt der erste Brocard-Punkt des Dreiecks ABC, und der Winkel ω heißt der Brocard-Winkel des Dreiecks ABC.

Es gibt noch einen zweiten Brocard-Punkt des Dreiecks ABC; das ist derjenige Punkt Q, für den die Strecken AQ, BQ, CQ der Reihe nach mit den Seiten b, c, a gleiche Winkel einschließen, d. h. für den $\angle QCB = \angle QBA = \angle QAC$ gilt. Merkwürdigerweise entspricht diesem zweiten Brocard-Punkt derselbe Brocard-Winkel wie dem ersten Brocard-Punkt, d. h. der Winkel $\angle PBC = \angle PCA = \angle PAB$ ist dem Winkel $\angle QCB = \angle QBA = \angle QAC$ gleich.

Die zwei Brocard-Punkte sind eng miteinander verwandt; in der Tat hängt die Unterscheidung des ersten von dem zweiten davon ab, in welcher Reihenfolge man die Ecken des Dreiecks ABC nimmt! So ist z. B. der erste Brocard-Punkt des Dreiecks ABC gleichzeitig der zweite Brocard-Punkt des Dreiecks ACB.

[Bearbeiten] Konstruktion

Die eleganteste Konstruktion der Brocard-Punkte, im Folgenden an dem Beispiel des ersten Brocard-Punktes dargestellt, geht folgendermaßen:

Man schneidet die Mittelsenkrechte der Seite AB mit der Senkrechten zu der Geraden BC durch den Punkt B. Um den Schnittpunkt zeichnet man einen Kreis so, dass er durch den Punkt B geht. Dann geht dieser Kreis auch durch den Punkt A und berührt die Gerade BC im Punkt B. Analog konstruieren wir einen Kreis durch die Punkte C und B, der die Gerade CA im Punkt C berührt, und einen Kreis durch die Punkte A und C, der die Gerade AB im Punkt A berührt. Diese drei Kreise haben einen gemeinsamen Punkt - den ersten Brocard-Punkt des Dreiecks ABC !

Die drei gerade konstruierten Kreise werden auch als Beikreise des Dreiecks ABC bezeichnet. Analog konstruiert man den zweiten Brocard-Punkt.

[Bearbeiten] Formeln für den Brocard-Winkel

Schreibt man $A Δ$ für den Flächeninhalt des Dreiecks ABC, so lässt sich der Brocard-Winkel mit folgenden Formeln berechnen:

$\tan \omega = \frac {A_\Delta}{a^2+b^2+c^2}$ .
$\cot\omega = \cot \alpha + \cot \beta + \cot \gamma.\,$
$\sin \omega = \frac{2A_\Delta}{\sqrt{b^2c^2+a^2c^2+a^2b^2}}$

Für jedes Dreieck gilt $\omega \leq 30^o$ .

[Bearbeiten] Eigenschaften

Die beiden Brocard-Punkte eines Dreiecks ABC sind stets zueinander isogonal konjugiert.
Der Mittelpunkt der beiden Brocard-Punkte (Kimberling-Nummer X(39)) liegt auf der sogenannten Brocard-Achse, die den Umkreismittelpunkt und den Lemoine-Punkt verbindet. Die Verbindungsgerade der beiden Brocard-Punkte ist senkrecht zur Brocard-Achse.

[Bearbeiten] Koordinaten

Erster Brocard-Punkt
Trilineare Koordinaten	$\frac{c}{b} \, : \, \frac{a}{c} \, : \, \frac{b}{a}$
Baryzentrische Koordinaten	$\frac{ac}{b} \, : \, \frac{ba}{c} \, : \, \frac{cb}{a}$
Zweiter Brocard-Punkt
Trilineare Koordinaten	$\frac{b}{c} \, : \, \frac{c}{a} \, : \, \frac{a}{b}$
Baryzentrische Koordinaten	$\frac{ab}{c} \, : \, \frac{bc}{a} \, : \, \frac{ca}{b}$