Projektive Ebene

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Eine projektive Ebene ist in der Geometrie eine Punkte und Geraden umfassende Inzidenzstruktur, die im wesentlichen durch zwei Forderungen charakterisiert ist, nämlich dass je zwei Geraden einen (eindeutigen) Schnittpunkt und je zwei Punkte eine (eindeutige) Verbindungsgerade besitzen.

[Bearbeiten] Definition

Eine Inzidenzstruktur heißt projektive Ebene, falls gilt:

Zu je zwei Punkten gibt es genau eine Gerade, die mit beiden inzidiert.
Zu je zwei Geraden gibt es genau einen Punkt, der mit beiden inzidiert.
Es gibt ein Viereck, d.h. vier Punkte, von denen keine drei mit derselben Geraden inzidieren.

[Bearbeiten] Beispiele

minimale projektive Ebene (Fano-Ebene)

Wenn man in den dreidimensionalen Vektorräumen über den reellen Zahlen oder den komplexen Zahlen die zweidimensionalen Unterräume als Geraden und die eindimensionalen Unterräume als Punkte auffasst, erhält man Modelle einer projektive Ebene. Die Inzidenzrelation ist die gewöhnliche Inklusion $\subseteq$ . Diese Ebenen zusammen mit den ähnlich gewonnenen Ebenen über den Quaternionen oder den Oktonionen werden auch als klassische Ebenen bezeichnet. Statt der reellen oder komplexen Zahlen kann man einen beliebigen Körper K nehmen, sogar einen Schiefkörper (der bekannteste besteht aus den Quaternionen).
Die kleinstmögliche endliche projektive Ebene besteht aus sieben Geraden und sieben Punkten (s. Abb.). In diesem Fall ist K der Körper, der nur aus der 0 und der 1 besteht und in dem 1+1=0 ist.

[Bearbeiten] Anmerkungen

[Bearbeiten] Dualitätsprinzip

Man kann zeigen, dass es in einer projektiven Ebene stets vier Geraden gibt, von denen keine drei durch denselben Punkt gehen. Hieraus und aus der symmetrischen Formulierung der beiden ersten Axiome ist ersichtlich, dass man durch Vertauschen der Bezeichnungen Punkt und Gerade wieder eine projektive Ebene erhält. Die Punkte und Geraden von $\mathfrak{P}$ bilden die Geraden und Punkte der zu $\mathfrak{P}$ dualen Ebene $\mathfrak{P}^{\star}$ .

[Bearbeiten] Zusammenhang mit affinen Ebenen

Nimmt man bei einer affinen Ebene $\mathfrak{A}=\langle P,\mathcal{L},\textbf{F} \rangle$ für jede Schar paralleler Geraden einen weiteren uneigentlichen Punkt zu $P$ hinzu, welcher mit genau den Geraden seiner Schar inzidieren soll, und erweitert man $\mathcal{L}$ um die uneigentliche Gerade $W$ , die genau diese Punkte enthält, so bekommt man eine projektive Ebene, den projektiven Abschluss $\overline{\mathfrak{A}}$ von $\mathfrak{A}$ . Umgekehrt erhält man einen affinen Anteil $\mathfrak{P}^{W}$ einer projektiven Ebene $\mathfrak{P}$ durch Streichen einer beliebigen Geraden $W$ mit allen ihren Punkten.

[Bearbeiten] Endliche Ebenen

Wie obiges Beispiel zeigt, können projektive Ebenen endlich sein, d. h. nur endlich viele Punkte und Geraden enthalten. Enthält eine Gerade n+1 Punkte, so enthalten alle Geraden n+1 Punkte, durch jeden Punkt gehen n+1 Geraden und insgesamt gibt es n²+n+1 Geraden und n²+n+1 Punkte. n heißt in diesem Fall die Ordnung der Ebene. Die kleinstmögliche Ordnung einer endlichen projektiven Ebene ist 2. Für jede Ordnung, die eine Primzahlpotenz ist, lässt sich eine endliche projektive Ebene konstruieren. Ob es eine solche Ebene gibt, deren Ordnung keine Primzahlpotenz ist, ist ein ungelöstes Problem. Teilresultate: Die Nichtexistenz einer projektiven Ebene der Ordnung 10 wurde mit großem Computereinsatz bewiesen. Der Satz von Bruck-Ryser-Chowla besagt: Ist n = 4k+1 oder 4k+2 Ordnung einer projektiven Ebene, so ist n Summe zweier ganzer Quadratzahlen. Danach gibt es keine projektiven Ebenen der Ordnungen 6, 14, 21, 22, 30, 33, 38, 42, 46,.... Ob es solche der Ordnungen 12, 15, 18, 20, 24, 28, 31,... gibt, ist unbekannt.

[Bearbeiten] Klassifikation

[Bearbeiten] Schließungssätze

Naheliegend ist eine Klassifikation der projektiven Ebenen rein aufgrund des Begriffes der Inzidenz. Dies geschieht durch die Feststellung, ob bestimmte geometrische Sätze der Form "wenn eine bestimmte Konfiguration von Inzidenzen vorliegt, so gilt auch eine weitere Inzidenz" in einer Ebene gelten. Beispiele für solche Schließungssätze sind die aus der reellen Ebene bekannten (und dort gültigen) Sätze von Desargues und Pappos (manchmal auch Satz von Pappos-Pascal genannt). Ebenen, in denen die genannten Sätze gelten, werden als Desarguessche Ebenen bzw. Pappossche Ebenen bezeichnet.

[Bearbeiten] Koordinatisierung

Zur Nutzbarmachung von Methoden der (linearen) Algebra ist ein weiteres in der Geometrie übliches Verfahren die Einführung von Koordinaten. Diese verknüpfen die geometrische Struktur der Ebene mit der algebraischen eines zugrundegelegten Koordinatenbereichs. Prinzipiell können in jeder projektiven Ebene Koordinaten eingeführt werden; die von den reellen Zahlen bekannten Rechenregeln gelten aber im zugehörigen Koordinatenbereich im Allgemeinen nicht. Es besteht jedoch ein direkter Zusammenhang zwischen der geometrischen Struktur der Ebene und der algebraischen des Koordinatenbereichs, welcher in gewisser Weise die Ebenen charakterisiert. Die Desarguesschen Ebenen z. B. sind genau die projektiven Ebenen, die einen (Schief-)Körper als Koordinatenbereich haben. Ist der Koordinatenbereich ein kommutativer Körper, ist die Ebene pappossch. In diesem Fall verwendet man meist homogene Koordinaten. Aus dem Satz von Wedderburn ergibt sich, dass endliche desarguessche Ebenen immer pappossch sind.

[Bearbeiten] Kollineationen

Kollineationen sind die strukturerhaltenden Abbildungen (oder Isomorphismen) zwischen projektiven Ebenen. Eine solche Abbildung bildet die Punkte auf die Punkte und die Geraden auf die Geraden in der Weise ab, dass die Inzidenz erhalten bleibt. Die Kollineationen einer projektiven Ebene auf sich selbst bilden eine Gruppe, die sogenannte Kollineationsgruppe der Ebene. Beispiele für Kollineationen sind Translationen oder Drehungen. Die Untersuchung der Wirkung bestimmter Untergruppen der Kollineationsgruppe auf die Ebene stellt eine weitere Möglichkeit der Klassifikation dar.

[Bearbeiten] Literatur

Günter Pickert: Projektive Ebenen. 2. Auflage. Springer, Berlin u.a. 1975, ISBN 3-540-07280-2.
Daniel R. Hughes, Fred C. Piper: Projective Planes. Springer, Berlin u.a. 1973, ISBN 3-540-90044-6.
Hanfried Lenz: Vorlesungen über projektive Geometrie. Geest & Portig, Leipzig 1965.
Peter Dembowski: Finite geometries. Springer, Berlin u.a. 1968.
Helmut Salzmann et al.: Compact projective planes. de Gruyter, Berlin u.a. 1995, ISBN 3-11-011480-1.

Kategorie: Geometrie

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