Singularita (komplexní analýza)

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

V komplexní analýze je singularita bod, ve kterém funkce není komplexně diferencovatelná. Singularity hrají v komplexní analýze obzvláště významnou roli díky tomu, že Taylorovy nebo obecněji Laurentovy řady kolem daného bodu konvergují na kruhu nebo mezikruží až po nejbližší singularitu. Krom toho v singulárním bodě může mít funkce reziduum, což se významně projeví na chování křivkových integrálů kolem tohoto bodu.

Významnou roli mají především singularity izolované, tedy takové, že kolem nich existuje okolí, že v něm nejsou singularity jiné. Izolované singularity rozlišujeme na odstranitelné, póly a singularity významné. V prvních dvou případech lze kolem singularity rozvinout funkci do Laurentovy řady, což v případě singularit neizolovaných není možné.

Body, v nichž funkce není singulární, se označují jako regulární body.

Obsah 1 Definice 1.1 Singularita 1.2 Izolovaná singularita 2 Klasifikace a vlastnosti izolovaných singularit 2.1 Odstranitelná singularita 2.2 Pól n-tého řádu 2.3 Podstatná singularita

[editovat] Definice

[editovat] Singularita

Nechť f(z) je funkce z otevřené podmnožiny Ω komplexní roviny do C. Nazvěme χ takovou podmnožinu Ω, že f je na množině Ω \ χ holomorfní. Potom řekneme, že f má na χ singularitu.

[editovat] Izolovaná singularita

Je-li má-li f(z₀) v bodě z₀ singularitu a existuje-li prstencové okolí bodu z₀, na němž je f holomorfní, pak z₀ nazveme izolovanou singularitou.

[editovat] Klasifikace a vlastnosti izolovaných singularit

[editovat] Odstranitelná singularita

Má-li f v z₀ singularitu a existuje-li limita

potom řekneme, že tato singularita je odstranitelná.

Přitom platí, že

• Dodefinujeme-li f v z₀ limitou výše, je v z₀ holomorfní.
• Existuje Taylorova řada kolem bodu z₀ stejnoměrně konvergentní po nejbližší další singularitu.

[editovat] Pól n-tého řádu

Má-li f v z₀ singularitu a existuje-li limita

platí, že existuje (přirozené) číslo n takové, že

Potom řekneme, že f má v z₀ pól n-tého řádu.

Pól n-tého řádu jednoduše znamená, že funkce f se v z₀ chová stejně jako funkce (z − z₀) ^{− n}. Pokud je v z₀ pól, dá se kolem z₀ f rozvinout do Laurentovy řady, která bude mít právě n členů ve své hlavní části.

Pól prvního řádu bývá často označován jako jednoduchý pól.

[editovat] Podstatná singularita

Má-li f v z₀ singularitu a limita

neexistuje, potom řekneme, že f má v z₀ podstatnou singularitu. V takovém případě má Laurentova řada kolem z₀ nekonečně mnoho členů v hlavní části. Typickým příkladem takovéto singularity je singularita funkce

v bodě z = 0.