Otevřená množina

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Množina M topologického prostoru je otevřená, pokud s každým bodem X, který do ní patří, patří do této množiny i jeho okolí O(x). Otevřená množina není opak uzavřené. Existují totiž množiny, které jsou zároveň uzavřené i otevřené.

Obsah

1 Definice
- 1.1 Topologické prostory
- 1.2 Metrické prostory
2 Vlastnosti otevřených množin
3 Použití otevřených množin
4 Související články
5 Reference
6 Literatura

[editovat] Definice

Bod X se nazývá vnitřním bodem množiny M, jestliže X∈M a existuje nějaké okolí O(X) bodu X ležící celé v množině M, tj. O(X)⊆M. Množina všech vnitřních bodů množiny M se nazývá vnitřek množiny M a označuje M^o. Je-li množina M totožná se svým vnitřkem, tj. je-li každý bod množiny M vnitřní, je M množina otevřená^[1].

[editovat] Topologické prostory

Při definici topologických prostorů je otevřená množina základní pojem. Začne se s libovolnou množinou $X$ a souborem jejích podmnožin $τ$ , které splňují všechny vlastnosti, které by otevřené množiny měly mít. (Sjednocení libovolného počtu a průnik konečného počtu otevřených množin je otevřená množina, navíc prázdná množina a X jsou otevřené.) Takový soubor podmnožin $τ$ se nazývá topologie na $X$ a společně definují topologický prostor $(X,τ)$ . Otevřené množiny jsou pak právě prvky topologie $τ$ .

[editovat] Metrické prostory

Každý metrický prostor $X$ s metrikou $d$ je topologický prostor s topologií generovanou metrikou. (Topologii generuje množina všech otevřených koulí $U(x,r) = \{y \in X; d(x,y) <r\}$ .) V této topologii můžeme otevřenou množinu definovat intuitivnějším způsobem.

Podmnožina $A$ metrického prostoru $X$ je otevřená, pokud pro každý její bod $x$ existuje koule se středem v $x$ , která celá leží v $A$ . Tedy pro každý bod $x \in A$ existuje $ε > 0$ tak, že každé $y \in X \quad d(x, y) < \epsilon$ leží v $A$ .